Question

已知復(fù)數(shù)z滿足|z-4|=|z-4i|且z+

14-z

z-1

∈R，求：z．

Answer 1

分析：確定一個復(fù)數(shù)要且僅要兩個實數(shù)a、b，而題目恰給了兩個獨立條件采用待定系數(shù)法可求出a、b確定z．
判斷一個復(fù)數(shù)是否為實數(shù)除用定義外，還可以用z∈R?z=

.

z

可使運算簡化．

解答：解：設(shè)z=x+yi（x，y∈R）
∵z+

14-z

z-1

∈R∴z+

14-z

z-1

=

.

z

+

14- . z

. z -1

即（z-

.

z

）[1-

13

(z-1)( . z -1)

]=0
解得z=

.

z

或|z-1|²=13
將z=x+yi代入|z-4|=|z-4i|可得x=y，∴z=x+xi
（1）當(dāng)z=

.

z

時，即z∈R則有x=0
（2）當(dāng)|z-1|²=13時，既有x²-x-6=0則有x=3或x=-2
綜上所述故z=0或z=3+3i或z=-2-2i．

點評：本題主要考查熟練的運用共軛復(fù)數(shù)的性質(zhì)．其性質(zhì)有：
|z|=|

.

z

|，z+

.

z

=2R（z），z-

.

z

=2iI（z），z•

.

z

=|z|²=|

.

z

|²，

.

z1+z2

=

.

z

1±

.

z

2，

.

z1•z2

=

.

z

1•

.

z

2，

.

z1 z2

=

. z 2

. z 1

（z₂≠0）等．