Question

設(shè)n∈N^﹡且n≥2，若a_n是（1+x）ⁿ展開(kāi)式中含x²項(xiàng)的系數(shù)，則

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

2(n-1)

n

．

Answer 1

分析：根據(jù)二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式求得x²項(xiàng)的系數(shù)，然后利用裂項(xiàng)求和法求出所求即可．

解答：解：在（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中，通項(xiàng)公式為T(mén)_r+1=

C

r n

•x^r，令r=2，則x²項(xiàng)的系數(shù)為a_n=

C

2 n

=

n(n-1)

2

∴

1

an

=

2

n(n-1)

=2(

1

n-1

-

1

n

)
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2（1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n-1

-

1

n

）=2（1-

1

n

）=

2(n-1)

n

故答案為：

2(n-1)

n

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式，求展開(kāi)式中某項(xiàng)的系數(shù)，以及裂項(xiàng)求和法求和，屬于中檔題．