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精英家教網(wǎng) > 高中數(shù)學 > 題目詳情

設(shè) $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ ， $數(shù)學公式$ 是任意的三個非零平面向量，且他們相互不共線，給出下列命題
①（ $數(shù)學公式$ • $數(shù)學公式$ ） $數(shù)學公式$ =（ $數(shù)學公式$ • $數(shù)學公式$ ） $數(shù)學公式$ ；
②| $數(shù)學公式$ |-| $數(shù)學公式$ |＜| $數(shù)學公式$ - $數(shù)學公式$ |；
③（3 $數(shù)學公式$ +2 $數(shù)學公式$ ）•（3 $數(shù)學公式$ -2 $數(shù)學公式$ ）=9 $數(shù)學公式$ -4 $數(shù)學公式$ ；
④（ $數(shù)學公式$ • $數(shù)學公式$ ） $數(shù)學公式$ -（ $數(shù)學公式$ • $數(shù)學公式$ ） $數(shù)學公式$ 不與 $數(shù)學公式$ 垂直．
其中正確的有

A.
①②
B.
②③
C.
③④
D.
②④

B
分析：①因為（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示與向量 $\text{[math]}$ 共線的向量，而（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示與向量 $\text{[math]}$ 共線的向量．
②根據(jù)三角形的性質(zhì)：任意兩邊之差小于第三邊可得| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |＜| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |．
③向量的運算滿足平方差公式．
④因為[（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ]• $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，所以（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 垂直．
解答：①因為（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示與向量 $\text{[math]}$ 共線的向量，而（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 是表示與向量 $\text{[math]}$ 共線的向量，所以①錯誤．
②因為 $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ ， $\text{[math]}$ 是任意兩個都不共線的向量，所以根據(jù)三角形的性質(zhì)：任意兩邊之差小于第三邊可得| $\text{[math]}$ |-| $\text{[math]}$ |＜| $\text{[math]}$ - $\text{[math]}$ |正確，所以②正確．
③根據(jù)向量的運算性質(zhì)可得：向量的運算滿足平方差公式，即（3 $\text{[math]}$ +2 $\text{[math]}$ ）•（3 $\text{[math]}$ -2 $\text{[math]}$ ）=9 $\text{[math]}$ -4 $\text{[math]}$ 正確，所以③正確．
④因為[（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ ]• $\text{[math]}$ =（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ =0，所以（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ -（ $\text{[math]}$ • $\text{[math]}$ ） $\text{[math]}$ 與 $\text{[math]}$ 垂直，所以④錯誤．
故選②③．
點評：解決此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握平面向量數(shù)量積的定義與運算滿足的運算律，以及熟練掌握利用向量的數(shù)量積判斷平面向量的垂直共線，此題屬于基礎(chǔ)題．

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相關(guān)習題

科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

有下列幾個命題：①若

a

與

b

-

c

都是非零向量，則“

a

•

b

=

a

•

c

”是“

a

⊥(

b

-

c

)”的充要條件；②已知等腰△ABC的腰為底的2倍，則頂角A的正切值是

15

7

；③在平面直角坐標系xoy中，四邊形ABCD的邊AB∥DC，AD∥BC，已知點A（-2，0），B（6，8），C（8，6），則D點的坐標為（0，-1）；④設(shè)

a

，

b

，

c

為同一平面內(nèi)具有相同起點的任意三個非零向量，且滿足

a

與

b

不共線，

a

⊥

c

，|

a

|=|

c

|，則|

b

•

c

|的值一定等于以

a

，

b

為鄰邊的平行四邊形的面積．其中正確命題的序號是

．（寫出全部正確結(jié)論的序號）

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)

a

，

b

，

c

是任意的三個非零平面向量，且他們相互不共線，給出下列命題
①（

a

•

b

）

c

=（

c

•

a

）

b

；
②|

a

|-|

b

|＜|

a

-

b

|；
③（3

a

+2

b

）•（3

a

-2

b

）=9|

a

|2-4|

b

|2；
④（

c

•

b

）

a

-（

c

•

a

）

b

不與

c

垂直．
其中正確的有（　　）

A．①②

B．②③

C．③④

D．②④

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科目：高中數(shù)學 來源： 題型：

設(shè)

a

、

b

、

c

是任意三個非零向量，且互不共線，有下列四個命題：
①（

a

.

b

）.

c

-（

a

.

c

）.

b

=

0

； ②|

a

-

b

|≤|

a

|+|

b

|；
③（

b

.

c

）.

a

-（

c

.

a

）.

b

與

c

不垂直； ④（

a

+

b

）（

a

-

b

）=|

a

|²+|

b

|²．
其中真命題的有（　�。﹤€．

A．1

B．2

C．3

D．4

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科目：高中數(shù)學 來源：2007-2008學年浙江省溫州市八校聯(lián)考高一（上）期末數(shù)學試卷（解析版） 題型：選擇題

設(shè)

，

，

是任意的三個非零平面向量，且他們相互不共線，給出下列命題
①

=

；
②|

|-|

|＜|

-

|；
③（3

+2

）•（3

-2

）=9

-4

；
④

-

不與

垂直．
其中正確的有（）
A．①②
B．②③
C．③④
D．②④

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