Question

已知曲線C₁：（a＞b＞0）所圍成的封閉圖形的面積為，曲線C₁的內(nèi)切圓半徑為，記C₂為以曲線C₁與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)為頂點(diǎn)的橢圓。
（1）求橢圓C₂的標(biāo)準(zhǔn)方程；
（2）設(shè)AB是過(guò)橢圓C₂中心的任意弦，l是線段AB的垂直平分線，M是l上異于橢圓中心的點(diǎn)。
（i）若|MO|=λ|OA|（O為坐標(biāo)原點(diǎn)），當(dāng)點(diǎn)A在橢圓C₂上運(yùn)動(dòng)時(shí)，求點(diǎn)M的軌跡方程；
（ii）若M是l與橢圓C₂的交點(diǎn)，求△AMB的面積的最小值。

Answer 1

解：（1）由題意得
又
解得，
因此所求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為。
（2）（i）假設(shè)AB所在的直線斜率存在且不為零，設(shè)AB所在直線方程為，
解方程組得，
所以
設(shè)，由題意知，
所以，
即，
因?yàn)閘是AB的垂直平分線，
所以直線l的方程為，
即，
因此，
又，
所以，
故
又當(dāng)或不存在時(shí)，上式仍然成立
綜上所述，M的軌跡方程為。
（2）當(dāng)k存在且時(shí)，由（i）得，，
由解得，，
所以，，
由于



，
當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，即時(shí)等號(hào)成立，
此時(shí)面積的最小值是
當(dāng)，
當(dāng)k不存在時(shí)，
綜上所述，的面積的最小值為。