Question

設(shè)函數(shù)在[1，+∞）上是增函數(shù)．
（1）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）設(shè)b＞0，a＞1，求證：．

Answer 1

解：（1）對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，
∴對(duì)x∈[1，+∞）恒成立，又，
∴a≥1為所求；
（2）取，∵，
一方面，由（1）知在[1，+∞）上是增函數(shù)，
∴
∴即；
另一方面，設(shè)函數(shù)G（x）=x﹣lnx（x＞1），，
∴G（x）在（1，+∞）上是增函數(shù)且在x=x₀處連續(xù)，
又G（1）=1＞0，
∴當(dāng)x＞1時(shí)，G（x）＞G（1）＞0，
∴x＞lnx即，
綜上所述，．