Question

（本小題滿分12分）
如圖，在直三棱柱中，，，分別為棱的中點(diǎn)，為棱上的點(diǎn)，二面角為．
（I）證明：；
（II）求的長(zhǎng)，并求點(diǎn)到平面的距離．

Answer 1

（I）
（II） C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等,為

)證明：連結(jié)CD.
∵三棱柱ABC-A，BC是直三棱柱.
∴
∴CD為C₁D在平面ABC內(nèi)的射影.
∵△ABC中，AC=BC，D為AB中點(diǎn).
∴
∴
∵
∴
（Ⅱ）解法一：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MF.
∵D、E分別為AB、BC的中點(diǎn).
∵
又
∴
∵AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，
∴
∴為二面角的平面角，.
在△MAF中, ,
∴
作，垂足為G.
∵
∴
∴
∴
在△GAF中,，AF=
∴，即A到平面MDE的距離為.
∵∴
∴C到平面MDE的距離與A到平面MDE的距離相等,為，
解法二：過點(diǎn)A作CE的平行線，交ED的延長(zhǎng)線于F，連結(jié)MF.
∵D、E分別為AB、CB的中點(diǎn)，
∴
又∵
∴
∵
∴AF為MF在平面ABC內(nèi)的射影，
∴
∴為二面角的平面角，.
在△MAF中, ,
∴
設(shè)C到平面MDE的距離為h.
∵,
∴


∴
∴,即C到平面MDE的距離相等,為