Question

已知數(shù)列{a_n}的前n項和是S_n，且Sn+

1

2

an=1．
（Ⅰ）求數(shù)列{a_n}的通項公式；
（Ⅱ）設(shè)b_n=log₃（1-S_n+1），求適合方程

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

25

51

的n的值．
（Ⅲ）記c_n=（n-2）•a_n，是否存在實數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，若存在，請求出M的最小值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 當(dāng)n=1時，可求出a₁，當(dāng)n≥2時，Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1兩式相減可得an=

1

3

an-1從而{a_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列，即可求出通項公式；
（Ⅱ）先求出b_n的通項公式，根據(jù)

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

可求出

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

的值，從而求出n的值；
（III）先求出c_n的通項公式，然后根據(jù)c_n+1-c_n=

2n-2

3n

-

2n-4

3n-1

=

10-4n

3n

≥0得n≤

5

2

從而求出實數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立，最后求出最小值即可．

解答：解：（Ⅰ） 當(dāng)n=1時，a₁=S₁，由S1+

1

2

a1=1，得a1=

2

3

．
當(dāng)n≥2時，Sn=1-

1

2

an，Sn-1=1-

1

2

an-1，
∴Sn-Sn-1=

1

2

(an-1-an)，
即an=

1

2

(an-1-an)．
∴an=

1

3

an-1．
∴{a_n}是以

2

3

為首項，

1

3

為公比的等比數(shù)列．
故an=

2

3

•(

1

3

)n-1=2•(

1

3

)n． 　…（6分）
（Ⅱ）1-S_n=

1

2

a_n=(

1

3

)n，b_n=log₃（1-S_n+1）=log₃(

1

3

)n+1=-n-1，…（8分）

1

bnbn+1

=

1

(n+1)(n+2)

=

1

n+1

-

1

n+2

1

b1b2

+

1

b2b3

+…+

1

bnbn+1

=

1

2

-

1

n+2

=

25

51

…（10分）
解方程得n=100…（12分）
（III）解：c_n=（n-2）•a_n=

2n-4

3n-1

，
由c_n+1-c_n=

2n-2

3n

-

2n-4

3n-1

=

10-4n

3n

≥0得n≤

5

2

∴c₃＞c₂＞c₁，
當(dāng)n≥3時，c_n+1＜c_n即c₃＞c₄＞c₅＞…，又c₃=

2

9

故存在實數(shù)M，使得對一切n∈N^*，c_n≤M恒成立M的最小值為

2

9

．

點評：本題主要考查了數(shù)列的判定，以及利用裂項求和法求和，同時考查了數(shù)列的函數(shù)特性，屬于中檔題．