Question

【題目】如圖,四邊形為矩形,且平面, ,為的中點.

（1）求證:；

（2）求三棱錐的體積；

（3）探究在上是否存在點,使得平面，并說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析;（2）;（3）見解析.

【解析】

(1)連結(jié),由幾何體的空間結(jié)構(gòu)可證得,利用線面垂直的定義可知.

(2)由(1)知為腰長為1的等腰直角三角形,結(jié)合題意轉(zhuǎn)化頂點可得.

(3)在上存在中點,使得.取的中點,連結(jié). 易證得四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG//CH,結(jié)合線面平行的判斷定理可知EG//平面PCD.

(1)連結(jié),∵為的中點,,

∴為等腰直角三角形,

則,同理可得,∴,∴,

又,且, ∴,

又∵,∴,又,∴.

(2)由(1)知為腰長為1的等腰直角三角形,

∴,而是三棱錐的高,

∴.

(3)在上存在中點,使得.理由如下:

取的中點,連結(jié).

∵是的中點, ∴,且,

又因為E為BC的中點,且四邊形ABCD為矩形,所以EC//AD,且EC=AD,

所以EC//GH,且EC=GH,所以四邊形EGHC是平行四邊形,所以EG//CH,

又EG平面PCD,CH平面PCD,所以EG//平面PCD.