Question

已知定點(diǎn)F（1，0），F(xiàn)′（-1，0），動(dòng)點(diǎn)P滿足|

PF

|，

2

2

|

FF′

|，|PF′|成等差數(shù)列
（1）求動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程
（2）過(guò)點(diǎn)F（1，0）且與x軸不重合的直線l與E交于M、N兩點(diǎn)，以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)恰在y軸上，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（1）利用等差數(shù)列的意義和橢圓的定義即可得出；
（2）對(duì)直線l的斜率分類(lèi)討論，利用中垂線方程和正方形的性質(zhì)即可得出．

解答：解：（1）由題意可得：|

PF

|+|

PF′

|=2•

2

2

|

FF′

|=2

2

＞|

FF′

|，
由橢圓的定義可得：動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E是橢圓，且a=

2

，c=1，∴b²=a²-c²=1，
∴動(dòng)點(diǎn)P的軌跡E的方程為

x2

2

+y2=1．
（2）①當(dāng)直線l與x軸垂直時(shí)，l：x=1．
此時(shí)M(1，

2

2

)，N(1，-

2

2

)，以MN為對(duì)角線的正方向的另外兩個(gè)頂點(diǎn)為(1±

2

2

，0)，不合題意；
②當(dāng)直線l與x軸既不垂直也不重合時(shí)，設(shè)l：y=k（x-1）（k≠0），設(shè)M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．
聯(lián)立

x2 2 +y2=1 y=k(x-1)

，得（2k²+1）x²-4k²x+2k²-2=0，
∴x1+x2=

4k2

2k2+1

，x1x2=

2k2-2

2k2+1

．
∴MN的中點(diǎn)坐標(biāo)為(

2k2

2k2+1

，

-k

2k2+1

)．
則線段MN的中垂線m的方程為y+

k

2k2+1

=-

1

k

(x-

2k2

2k2+1

)，
即m：y=-

x

k

+

k

2k2+1

，
則直線m與y軸的交點(diǎn)為Q(0，

k

2k2+1

)，
而以MN為對(duì)角線的正方形的第三個(gè)頂點(diǎn)Q恰在y軸上，
∴QM⊥QN，即

QM

•

QN

=(x1，y1-

k

2k2+1

)•(x2，y2-

k

2k2+1

)=0，
整理得x1x2+y1y2-

k

2k2+1

（y₁+y₂）+

k2

(2k2+1)2

=0，（*）
由

y1y2=k2[x1x2-(x1+x2)+1]=- k2 2k2+1 y1+y2=k(x1+x2-2)=- 2k 2k2+1

代入（*）解得k=±1．
故所求直線方程為x+y-1=0或x-y-1=0．

點(diǎn)評(píng)：熟練掌握等差數(shù)列的意義和橢圓的定義、分類(lèi)討論、中垂線方程和正方形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．