Question

(本小題滿分12分）

已知函數(shù)的零點(diǎn)的集合為{0，1}，且是f（x）的一個(gè)極值點(diǎn)。

（1）求的值；

（2）試討論過(guò)點(diǎn)P（m，0）與曲線y＝f（x）相切的直線的條數(shù)。

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當(dāng)或時(shí)，，方程①有兩等根或，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)或與曲線相切的直線有兩條；

當(dāng)時(shí)，，方程①無(wú)解，此時(shí)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線僅有一條；

當(dāng)或時(shí)，，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)根，此時(shí)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線有三條.

【解析】

試題分析：（Ⅰ）函數(shù)的零點(diǎn)的集合為，則方程 的解可以為，或.

∴或.

①若，則.

當(dāng)，或時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

∴，為函數(shù)的極值點(diǎn)．與題意不符．

②若，則

當(dāng)，或時(shí)，，函數(shù)為增函數(shù)；當(dāng)，，函數(shù)為減函數(shù)；

∴，為函數(shù)的極值點(diǎn)．

綜上，函數(shù)，即，

而，故，∴               …6分

（Ⅱ）設(shè)過(guò)點(diǎn)的直線與曲線切于點(diǎn)，

由（Ⅰ）知，∴曲線在點(diǎn)處的切線方程為，

∵滿足此方程，故，又

即，∴.

，或…①，關(guān)于的方程的判別式

當(dāng)或時(shí)，，方程①有兩等根或，此時(shí)，過(guò)點(diǎn)或與曲線相切的直線有兩條；

當(dāng)時(shí)，，方程①無(wú)解，此時(shí)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線僅有一條；

當(dāng)或時(shí)，，方程①有兩個(gè)不同的實(shí)根，此時(shí)過(guò)點(diǎn)與曲線相切的直線有三條.                                         …12分

考點(diǎn)：函數(shù)的零點(diǎn)；函數(shù)的極值點(diǎn)；導(dǎo)數(shù)的幾何意義；曲線的切線方程。

點(diǎn)評(píng)：利用導(dǎo)數(shù)求曲線的切線方程，我們一定要分清是“在某點(diǎn)處的切線”還是“過(guò)某點(diǎn)的切線”。對(duì)于“在某點(diǎn)處的切線”的問(wèn)題，這一點(diǎn)就是切點(diǎn)，直接根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義寫(xiě)出切線方程即可。對(duì)于“過(guò)某點(diǎn)的切線”問(wèn)題，我們一般要把切點(diǎn)坐標(biāo)設(shè)出來(lái)解決。