Question

【題目】已知橢圓的離心率為，直線(xiàn)，圓的方程為，直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)與橢圓的短軸長(zhǎng)相等，橢圓的左頂點(diǎn)為，上頂點(diǎn)為.

（1）求橢圓的方程；

（2）已知經(jīng)過(guò)點(diǎn)且斜率為直線(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和，請(qǐng)問(wèn)是否存在常數(shù)，使得向量與共線(xiàn)？如果存在，求出的值；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

Answer 1

【答案】（1）（2）不存在；詳見(jiàn)解析

【解析】

（1）求得圓心到直線(xiàn)的距離，利用直線(xiàn)和圓相交所得弦長(zhǎng)公式列方程，解方程求得的值，結(jié)合橢圓離心率以及，求得的值，進(jìn)而求得橢圓離心率.

（2）設(shè)出直線(xiàn)的方程，聯(lián)立直線(xiàn)的方程和橢圓的方程，寫(xiě)出根于系數(shù)關(guān)系以及判別式，利用與共線(xiàn)以及向量共線(xiàn)的坐標(biāo)表示列方程，由此判斷出不存在符合題意的常數(shù).

（1）圓心到直線(xiàn)的距離為，

直線(xiàn)被圓截得的弦長(zhǎng)，.

由橢圓離心率為，結(jié)合可得，.即橢圓的方程為：.

（2）設(shè)直線(xiàn)的方程為，

代入橢圓方程，整理，得，①

因?yàn)橹本�(xiàn)與橢圓有兩個(gè)不同的交點(diǎn)和等價(jià)于，

解得.

設(shè)，，則，

由①得，②

又，③

因?yàn)?/span>，所以.

所以與共線(xiàn)等價(jià)于.

將②③代入上式，解得，（舍）.

因?yàn)椴粷M(mǎn)足，

所以不存在常數(shù)，使得向量與共線(xiàn).