Question

（2013•廣東）如圖1，在等腰直角三角形ABC中，∠A=90°，BC=6，D，E分別是AC，AB上的點(diǎn)，CD=BE=

2

，O為BC的中點(diǎn)．將△ADE沿DE折起，得到如圖2所示的四棱椎A(chǔ)′-BCDE，其中A′O=

3

．
（1）證明：A′O⊥平面BCDE；
（2）求二面角A′-CD-B的平面角的余弦值．

Answer 1

分析：（1）連接OD，OE．在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，CD=BE=

2

，AD=AE=2

2

，CO=BO=3．分別在△COD與△OBE中，利用余弦定理可得OD，OE．利用勾股定理的逆定理可證明∠A^′OD=∠A^′OE=90°，再利用線面垂直的判定定理即可證明；
（2）方法一：過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長線于F，連接A'F．利用（1）可知：A'O⊥平面BCDE，根據(jù)三垂線定理得A'F⊥CD，所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角．在直角△OCF中，求出OF即可；
方法二：取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．利用兩個平面的法向量的夾角即可得到二面角．

解答：（1）證明：連接OD，OE．
因為在等腰直角三角形ABC中，∠B=∠C=45°，CD=BE=

2

，CO=BO=3．
在△COD中，OD=

CO2+CD2-2CO•CDcos45°

=

5

，同理得OE=

5

．
因為AD=A′D=A′E=AE=2

2

，A′O=

3

．
所以A'O²+OD²=A'D²，A'O²+OE²=A'E²．
所以∠A'OD=∠A'OE=90°
所以A'O⊥OD，A'O⊥OE，OD∩OE=O．
所以A'O⊥平面BCDE．
（2）方法一：
過點(diǎn)O作OF⊥CD的延長線于F，連接A'F
因為A'O⊥平面BCDE．
根據(jù)三垂線定理，有A'F⊥CD．
所以∠A'FO為二面角A'-CD-B的平面角．
在Rt△COF中，OF=COcos45°=

3 2

2

．
在Rt△A'OF中，A′F=

AO2+OF2

=

30

2

．
所以cos∠A′FO=

OF

A′F

=

15

5

．
所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為

15

5

．
方法二：
取DE中點(diǎn)H，則OH⊥OB．
以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，OH、OB、OA'分別為x、y、z軸建立空間直角坐標(biāo)系．
則O(0，0，0)，A′(0，0，

3

)，C(0，-3，0)，D(1，-2，0)

OA′

=(0，0，

3

)是平面BCDE的一個法向量．
設(shè)平面A'CD的法向量為n=（x，y，z）

CA′

=(0，3，

3

)，

CD

=(1，1，0)．
所以

n• CA′ =3y+ 3 z=0 n• CD =x+y=0

，令x=1，則y=-1，z=

3

．
所以n=(1，-1，

3

)是平面A'CD的一個法向量
設(shè)二面角A'-CD-B的平面角為θ，且θ∈(0，

π

2

)
所以cosθ=

OA′ •n

| OA′ |•|n|

=

3

3 × 5

=

15

5

所以二面角A'-CD-B的平面角的余弦值為

15

5

點(diǎn)評：本題綜合考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、余弦定理、線面垂直的判定與性質(zhì)定理、三垂線定哩、二面角、通過建立空間直角坐標(biāo)系利用法向量的夾角求二面角等基礎(chǔ)知識與方法，需要較強(qiáng)的空間想象能力、推理能力和計算能力．