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        1. 【題目】已知函數(shù)f(x)=xe2x﹣lnx﹣ax.
          (1)當a=0時,求函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值;
          (2)若x>0,不等式f(x)≥1恒成立,求a的取值范圍;
          (3)若x>0,不等式f( )﹣1≥ e + 恒成立,求a的取值范圍.

          【答案】
          (1)解:a=0時,f(x)=xe2x﹣lnx,

          , ,

          ∴函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),

          又函數(shù)f′(x)的值域為R,

          x0>0,使得f′(x0)=(2x0+1)e =0,

          又∵ ,∴ ,∴當x∈[ ,1]時,f′(x)>0,

          即函數(shù)f(x)在區(qū)間[ ,1]上遞增,∴


          (2)解:

          由(1)知函數(shù)f′(x)在(0,+∞)上是增函數(shù),且x0>0,使得f′(x0)=0,

          進而函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0,+∞)上遞增,

          ﹣lnx0﹣ax0,

          由f′(x0)=0,得:(2x0+1)e ﹣a=0,

          ,∴f(x0)=1﹣lnx0﹣2x02 ,

          x>0,不等式f(x)≥1恒成立,

          ∴1﹣lnx0﹣2x02e ≥1,∴l(xiāng)nx0+2x02 ≤0,

          設h(x0)=lnx0+2x e ,則h(x0)為增函數(shù),且有唯一零點,設為t,

          則h(t)=lnt+2t2e2t=0,則﹣lnt=2t2e2t,即 ,

          令g(x)=xex,則g(x)單調遞增,且g(2t)=g( ),

          則2t=ln ,即

          ∵a=(2x0+1) 在(0,t]為增函數(shù),

          則當x0=t時,a有最大值, = ,

          ∴a≤2,∴a的取值范圍是(﹣∞,2]


          (3)解:由f( )﹣1≥ ,

          ∴xlnx﹣x﹣a≥ ,∴a 對任意x>0成立,

          令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,∴

          當x>1時,g′(x)>0,當0<x<1時,g′(x)<0,

          ∴當x=1時,函數(shù)g(x)取得最小值g(1)=﹣1﹣ =﹣1﹣

          ∴a≤﹣1﹣

          ∴a的取值范圍是(﹣∞,﹣1﹣


          【解析】(1)a=0時, , ,由此利用導數(shù)性質能求出函數(shù)f(x)在[ ,1]上的最小值.(2) ,函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,x0)上遞減,在(x0 , +∞)上遞增,由x>0,不等式f(x)≥1恒成立,得lnx0+2x02 ≤0,由此能求出a的取值范圍.(3)由f( )﹣1≥ ,得a 對任意x>0成立,令函數(shù)g(x)=xlnx﹣x﹣ ,則 ,由此利用導數(shù)性質能求出a的取值范圍.

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          常喝

          不常喝

          總計

          肥胖

          2

          不肥胖

          18

          總計

          30

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          P(K2k0

          0.15

          0.10

          0.05

          0.025

          0.010

          0.005

          0.001

          k0

          2.072

          2.706

          3.841

          5.024

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