Question

【題目】已知橢圓：的離心率為，過其右焦點(diǎn)與長軸垂直的直線與橢圓在第一象限交于點(diǎn)，且.

（Ⅰ）求橢圓的方程；

（Ⅱ）設(shè)橢圓的左、右頂點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，且點(diǎn)與點(diǎn)，不重合，直線，與直線分別交于點(diǎn)，，求證：以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）；（Ⅱ）證明見解析.

【解析】

（Ⅰ）將代入橢圓方程求出點(diǎn)縱坐標(biāo)，得到，且等于，再由離心率和關(guān)系，即可求解；

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，求出線，的斜率，，由點(diǎn)的橢圓上，得到為定值，分別求出坐標(biāo)，證明即可.

（Ⅰ）代入橢圓方程得，

由，得，

又因?yàn)?/span>且，

得，，，

所以橢圓的方程為.

（Ⅱ）設(shè)點(diǎn)，

則得，

又設(shè)直線，的斜率分別為，，

則，，

所以，

∴直線：，直線：，

所以點(diǎn)，，

由，

所以以線段為直徑的圓過定點(diǎn)，

同理，以線段為直徑的圓過定點(diǎn).