Question

已知，其中n∈N^*．
（1）若展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為14，求n的值；
（2）當(dāng)x=3時(shí)，求證：f（x）必可表示成（s∈N^*）的形式．

Answer 1

解：（1）由二項(xiàng)式定理可知，二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式為 T_r+1=•2^n-r•，
令 =3，解得r=6，展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為•2^n-6=14，解得 n=7．
（2）當(dāng)x=3時(shí)，f（x）==•2ⁿ•++
+…+．
設(shè)=x+y=+，由于 =，a、b∈N^*，
則=． …（7分）
∵（）（）=•=1，
∴令 a=s，s∈N^*，則必有 b=s-1，…（9分）
∴必可表示成 的形式，其中 s∈N^*． …（10分）
分析：（1）在二項(xiàng)展開式的通項(xiàng)公式中，令x的冪指數(shù)等于3，求得r的值，即可求得含x³的項(xiàng)，再根據(jù)展開式中含x³項(xiàng)的系數(shù)為14，求n的值．
（2）當(dāng)x=3時(shí)，求得f（x）的解析式，由于若 =，a、b∈N^*，則=．再由 （）（）=1，令 a=s，s∈N^*，則必有 b=s-1，從而證得結(jié)論．
點(diǎn)評(píng)：本題二項(xiàng)式定理的應(yīng)用，求展開式中某項(xiàng)的系數(shù)，屬于中檔題．