Question

在△ABC中，角A、B、C的對邊分別為a、b、c，角A、B、C成等差數(shù)列，sinA=

2

2

，邊a的長為

2

．
（ I）求邊b的長；
（II）求△ABC的面積．

Answer 1

分析：（I）由角A、B、C成等差數(shù)列，由等差數(shù)列的性質得到2B=A+C，然后利用三角形的內(nèi)角和定理即可求出B的度數(shù)，由sinA，sinB及a的值，利用正弦定理即可求出b的長；
（II）由sinA的值和A的范圍，利用特殊角的三角函數(shù)值即可求出A的度數(shù)，又根據(jù)A+C的度數(shù)得到滿足題意的A的度數(shù)，根據(jù)C=π-（A+B），利用誘導公式及兩角和的正弦函數(shù)公式化簡，由特殊角的三角函數(shù)值即可求出sinC的值，然后根據(jù)三角形的面積公式，由a，b及sinC的值即可求出△ABC的面積

解答：解：（I）∵角A、B、C成等差數(shù)列，∴2B=A+C．
∵A+C=π-B，∴3B=π，B=

π

3

．∵sinA=

2

2

由正弦定理得

a

sinA

=

b

sinB

，即

2

2 2

=

b

sin π 3

，解得b=

3

．
（II）∵sinA=

2

2

，A∈（0，π），
∴A=

π

4

，或A=

3π

4

，
∵A+C=

2π

3

，∴A=

π

4

．
則sinC=sin[π-（A+B）]=sin（A+B）=sinAcosB+cosAsinB
=sin

π

4

cos

π

3

+cos

π

4

sin

π

3

=

6 + 2

4

，
所以S△ABC=

1

2

a•b•sinC=

1

2

•

2

•

3

•

6 + 2

4

=

3+ 3

4

．

點評：此題考慮學生掌握等差數(shù)列的性質，靈活運用正弦定理及誘導公式化簡求值，靈活運用兩角和與差的正弦函數(shù)公式及特殊角的三角函數(shù)值化簡求值，是一道中檔題．