Question

（2013•汕頭二模）已知函數(shù)f（x）是定義在實數(shù)集R上的奇函數(shù)，當x＞0時，f（x）=ax+lnx，其中常數(shù)a∈R．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上是單調(diào)減函數(shù)，求a的取值范圍；
（3）f′（x）函數(shù)f（x）的導函數(shù)，問是否存在實數(shù)x₀∈（1，e），使得對任意實數(shù)a，都有f′(x0)=

f(e)-f(1)

e-1

成立？若存在，請求出x₀的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

分析：（1）先設(shè)x∈（-∞，0）則-x∈（0，+∞），再求出f（-x）利用函數(shù)是奇函數(shù)求出f（x），最后用分段函數(shù)表示出函數(shù)的解析式；
（2）根據(jù)函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，若函數(shù)f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)減，當且僅當f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減，求導，轉(zhuǎn)化為導數(shù)小于等于零恒成立，利用分離參數(shù)，即可得a的取值范圍；
（3）求出

f(e)-f(1)

e-1

，和f′（x₀），解方程即可求得x₀的值，從而證明結(jié)論．

解答：解：（1）f（0）=0…（1分），x＜0時，
f（x）=-f（-x）=ax-ln（-x），
所以f(x)=

ax+lnx，x＞0 0，x=0 ax-ln(-x)，x＜0

（2）函數(shù)f（x）是奇函數(shù)，則f（x）在區(qū)間（-∞，-1）上單調(diào)減少，
當且僅當f（x）在區(qū)間（1，+∞）上單調(diào)減少，
當x＞0時，f（x）=ax+lnx，f/(x)=a+

1

x

，
由f/(x)=a+

1

x

＜0得a＜-

1

x

，-

1

x

在區(qū)間（1，+∞）的取值范圍為（-1，0），
所以a的取值范圍為（-∞，-1]
（3）存在．

f(e)-f(1)

e-1

=

(ae+1)-a

e-1

=a+

1

e-1

…，
解f/(x0)=a+

1

x0

=a+

1

e-1

，得x₀=e-1，
因為1＜e-1＜e，
所以x₀=e-1為所求．

點評：此題是個難題．本題主要考查導數(shù)的概念、利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、利用函數(shù)的單調(diào)性證明不等式和利用導數(shù)研究函數(shù)性質(zhì)的能力，考查分類討論思想、數(shù)形結(jié)合思想和等價變換思想．