Question

已知雙曲線(xiàn)C₁：x2-

y2

3

=1，若拋物線(xiàn)C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F到雙曲線(xiàn)C₁的漸近線(xiàn)的距離為

3

．
求：（1）C₂方程．
（2）若直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，且與曲線(xiàn)C₁僅有一個(gè)公共點(diǎn)，求直線(xiàn)y=kx+b的方程．

Answer 1

分析：（1）由雙曲線(xiàn)的方程易求出雙曲線(xiàn)的漸近線(xiàn)方程，進(jìn)而代入點(diǎn)到直線(xiàn)距離公式，求出p值，求出C₂方程．
（2）聯(lián)立直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)方程，根據(jù)直線(xiàn)與雙曲線(xiàn)只有一個(gè)交點(diǎn)，則方程有唯一的根，可求出k值，進(jìn)而得到直線(xiàn)方程．

解答：解：（1）∵雙曲線(xiàn)C₁：x2-

y2

3

=1，
∴雙曲線(xiàn)C₁的漸近線(xiàn)方程為y=±

3

x，即±

3

x+y=0
∵拋物線(xiàn)C₂：x²=2py（p＞0）的焦點(diǎn)F（0，

p

2

）到雙曲線(xiàn)C₁的漸近線(xiàn)的距離為

3

∴

3

=

p 2

2

，解得p=4

3

∴C₂方程x²=8

3

y
（2）∵直線(xiàn)y=kx+b經(jīng)過(guò)點(diǎn)F，
∴b=2

3

即y=kx+2

3

…①
將方程代入雙曲線(xiàn)C₁：x2-

y2

3

=1得：(1-

k2

3

)x2-

4 3

3

kx+3=0…②
若直線(xiàn)與曲線(xiàn)C₁僅有一個(gè)公共點(diǎn)，則方程②有且只有一個(gè)解
故k=±

3

或△=

16

3

-12(1-

k2

3

 )=0
解得k=±

3

或k=±

15

3

直線(xiàn)的方程為y=

3

x+2

3

，y=-

3

x+2

3

，y=

15

3

x+2

3

或y=-

15

3

x+2

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是直線(xiàn)與圓錐曲線(xiàn)的關(guān)系，拋物線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程，熟練掌握?qǐng)A錐曲線(xiàn)的標(biāo)準(zhǔn)方程及簡(jiǎn)單幾何特征是解答的關(guān)鍵．