Question

已知橢圓的兩個(gè)焦點(diǎn)F1(-

3

，0)，F2 (

3

，0)，且橢圓短軸的兩個(gè)端點(diǎn)與F₂構(gòu)成正三角形．
（I）求橢圓的方程；
（Ⅱ）過點(diǎn)（1，0）且與坐標(biāo)軸不平行的直線l與橢圓交于不同兩點(diǎn)P、Q，若在x軸上存在定點(diǎn)E（m，0），使

PE

•

QE

恒為定值，求m的值．

Answer 1

分析：（I） 由題意得到 c=

3

，tan30°=

3

3

=

b

c

，可得b、a值，即得橢圓的方程．
（Ⅱ）用點(diǎn)斜式設(shè)出直線l的方程，代入橢圓的方程化簡(jiǎn)，得到根與系數(shù)的關(guān)系，代入

PE

•

QE

 的解析式化簡(jiǎn)得   
 

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

1+4k2

恒為定值，故有 

4m2-8m+1

m2-4

= 4，從而解出m值．

解答：解：（I）由題意可得 c=

3

，tan30°=

3

3

=

b

c

，∴b=1，∴a=2，
故橢圓的方程為

x2

4

+

y2

1

=1．
（Ⅱ） 設(shè)直線l的方程為 y-0=k（x-1），即 y=kx-k．
代入橢圓的方程化簡(jiǎn)可得（1+4k²）x²-8k²x+4k²-4=0，
∴x₁+x₂=

8k2

1+4k2

，x₁•x₂=

4k2- 4

1+4k2

．
∵

PE

•

QE

=（m-x₁，-y₁ ）•（m-x₂，-y₂）=（m-x₁）（m-x₂）+y₁y₂ 
=（m²+k²）+（1+k²）x₁•x₂-（m+k²）（x₁+x₂）
=（m²+k²）+（1+k²）

4k2- 4

1+4k2

-（m+k²）（

8k2

1+4k2

）
=

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

1+4k2

  恒為定值，
∴

4m2-8m+1

m2-4

= 4，
∴m=

17

8

．

點(diǎn)評(píng)：本題考查橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，以及橢圓的簡(jiǎn)單性質(zhì)的應(yīng)用，一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系，由
 

(4m2-8m+1)k2+(m2-4)

1+4k2

恒為定值，得到

4m2-8m+1

m2-4

= 4，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．