Question

定義在R上的函數(shù)f（x）滿足f（-x）=-f（x）．當(dāng)x∈（0，1）時(shí)有：f(x)=

2x

4x+1

．
（1）求f（x）在（-1，1）上的解析式；
（2）判斷f（x）在（0，1）上的單調(diào)性并用定義證明．

Answer 1

分析：（1）設(shè)x∈（-1，0）則-x∈（0，1）結(jié)合f（-x）=-f（x），及x∈（0，1）時(shí)，f(x)=

2x

4x+1

，可求x∈（-1，0）時(shí)得f（x），在f（-x）=-f（x）中可求f（0）=0
（2）利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明即可

解答：解：（1）設(shè)x∈（-1，0）則-x∈（0，1）
∵?x∈R，f（-x）=-f（x），且x∈（0，1）時(shí)，f(x)=

2x

4x+1

，
∴x∈（-1，0）時(shí)，有f(x)=-f(-x)=-

2-x

4-x+1

=-

2x

4x+1

..（3分）
在f（-x）=-f（x）中，令x=0，f（-0）=-f（0）⇒f（0）=0．（5分）
綜上：當(dāng)x∈（-1，1）時(shí)，有：f(x)=

2x 4x+1 ，x∈(0，1) - 2x 4x+1 ，x∈(-1，0) 0，x∈{0}

（7分）
（2）f（x）在（0，1）上是減函數(shù)（8分）
證明：設(shè)0＜x₁＜x₂＜1則x₂-x₁＞0，0＜x₁+x₂＜2，∴2x1+x2＞1，2x2＞2x1．（10分）
∴f(x2)-f(x1)=

2x2

4x2+1

-

2x1

4x1+1

=

(2x1-2x2)(2x1+x2-1)

(4x1+1)(4x2+1)

＜0（13分）
∴f（x₂）＜f（x₁）
∴f（x）在（0，1）上是減函數(shù)（14分）

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查了利用函數(shù)的性質(zhì)求解函數(shù)的解析式，解題中不要漏掉x=0時(shí)的函數(shù)得解析式，利用函數(shù)的單調(diào)性的定義證明函數(shù)得單調(diào)性．