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        1. 精英家教網(wǎng)A、選修4-1:幾何證明選講 
          如圖,PA與⊙O相切于點A,D為PA的中點,
          過點D引割線交⊙O于B,C兩點,求證:∠DPB=∠DCP.
          B.選修4-2:矩陣與變換
          已知矩陣M=
          12
          2x
          的一個特征值為3,求另一個特征值及其對應的一個特征向量.
          C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
          在極坐標系中,圓C的方程為ρ=2
          2
          sin(θ+
          π
          4
          )
          ,以極點為坐標原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
          x=t
          y=1+2t
          (t為參數(shù)),判斷直線l和圓C的位置關(guān)系.
          D.選修4-5:不等式選講
          求函數(shù)y=
          1-x
          +
          4+2x
          的最大值.
          分析:A 由切割線定理得到 DP2=DA2=DB•DC,即
          PD
          DC
          =
          DB
          PD
          .  因為∠BDP=∠PDC,可得△BDP∽△PDC,從而,∠DPB=∠DCP.
          B 寫出矩陣M的特征多項式 f(λ),由λ1=3方程f(λ)=0的一根,令x=1 得特征值 λ2=-1,求出它對應的特征向量.
          C把參數(shù)方程和極坐標方程化為直角坐標方程,求出圓心到直線的距離小于半徑,故直線l和⊙C相交.
          y=
          1-x
          +
          4+2x
          =(
          1-x
          2+x
          )•(1,
          2
          ),由|
          a
          b
          |≤|
          a
          | • |
          b
          |
           求得函數(shù)的最大值.
          解答:解:A.因為PA與圓相切于A,所以,DA2=DB•DC,因為D為PA中點,所以,DP=DA,
          所以,DP2=DB•DC,即
          PD
          DC
          =
          DB
          PD
          .  因為∠BDP=∠PDC,所以,△BDP∽△PDC,精英家教網(wǎng)
          所以,∠DPB=∠DCP.
          B.矩陣M的特征多項式為f(λ)=
          .
          λ-1
          ,-2
          -2
          ,λ-x
          .
          =(λ-1)(λ-x)-4
          因為λ1=3方程f(λ)=0的一根,所以x=1,
          由(λ-1)(λ-1)-4=0得λ2=-1,
          設(shè)λ2=-1對應的一個特征向量為α=
          x
          y
          ,
          -2x-2y=0
          -2x-2y=0
          得 x=-y,令x=1,則y=-1,
          所以矩陣M的另一個特征值為-1,對應的一個特征向量為α=
          1
          -1

          C.消去參數(shù)t,得直線l的直角坐標方程為y=2x+1;ρ=2
          2
          (sinθ+
          π
          4
          )
          即ρ=2(sinθ+cosθ),
          兩邊同乘以ρ得ρ2=2(ρsinθ+ρcosθ),得⊙C的直角坐標方程為:(x-1)2+(x-1)2=2,
          圓心C到直線l的距離d=
          |2-1+1|
          22+12
          =
          2
          5
          5
          2
          ,所以,直線l和⊙C相交.
          D.因為y=
          1-x
          +
          4+2x
          =(
          1-x
          ,
          2+x
          )•(1,
          2
          ),由|
          a
          b
          |≤|
          a
          | • |
          b
          |
           求得
          ∴y的最大值為3,
          當且僅當兩個向量共線時,即
          1
          1-x
          =
          2
          2+x
          時取“=”號,即當x=0時,ymax=3.
          點評:本題考查簡單曲線的極坐標方程,把極坐標方程化為直角坐標方程的方法,直線和圓的位置關(guān)系的判定,矩陣的特征值與特征向量的定義.體現(xiàn)了數(shù)形結(jié)合及轉(zhuǎn)化的數(shù)學思想.
          練習冊系列答案
          相關(guān)習題

          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          精英家教網(wǎng)A(選修4-1:幾何證明選講)
          如圖,AB是⊙O的直徑,C,F(xiàn)是⊙O上的兩點,OC⊥AB,過點F作⊙O的切線FD交AB的延長線于點D,連接CF交AB于點E.
          求證:DE2=DB•DA.
          B(選修4-2:矩陣與變換)
          求矩陣
          21
          12
          的特征值及對應的特征向量.
          C(選修4-4:坐標系與參數(shù)方程)
          已知曲線C的極坐標方程是ρ=2sinθ,直線l的參數(shù)方程是
          x=-
          3
          5
          t+2
          y=
          4
          5
          t
          (t為參數(shù)).
          (Ⅰ)將曲線C的極坐標方程化為直角坐標方程;
          (Ⅱ)設(shè)直線l與x軸的交點是M,N是曲線C上一動點,求MN的最大值.
          D(選修4-5:不等式選講)
          已知m>0,a,b∈R,求證:(
          a+mb
          1+m
          )2
          a2+mb2
          1+m

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          選做題:在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共20分.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          A.選修4-1:幾何證明選講
          如圖,PA切⊙O于點A,D為PA的中點,過點D引割線交⊙O于B、C兩點.求證:∠DPB=∠DCP.
          B.選修4-2:矩陣與變換
          設(shè)M=
          .
          10
          02
          .
          ,N=
          .
          1
          2
          0
          01
          .
          ,試求曲線y=sinx在矩陣MN變換下的曲線方程.
          C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
          在極坐標系中,圓C的極坐標方程為ρ=
          2
          cos(θ+
          π
          4
          )
          ,以極點為原點,極軸為x軸的正半軸建立平面直角坐標系,直線l的參數(shù)方程為
          x=1+
          4
          5
          t
          y=-1-
          3
          5
          t
          (t為參數(shù)),求直線l被圓C所截得的弦長.
          D.選修4-5:不等式選講
          解不等式:|2x+1|-|x-4|<2.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          A)選修4-1:幾何證明選講
          如圖,⊙O的割線PAB交⊙O于A,B兩點,割線PCD經(jīng)過圓心交⊙O于C,D兩點,若PA=2,AB=4,PO=5,則⊙O的半徑長為
          13
          13


          (B)選修4-4:坐標系與參數(shù)方程
          參數(shù)方程
          x=
          1
          2
          (et+e-t)
          y=
          1
          2
          (et-e-t)
          中當t為參數(shù)時,化為普通方程為
          x2-y2=1(x≥1)
          x2-y2=1(x≥1)

          (C)選修4-5:不等式選講
          不等式|2-x|+|x+1|≤a對于任意x∈[0,5]恒成立的實數(shù)a的集合為
          {a|a≥9}
          {a|a≥9}

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          選做題在A、B、C、D四小題中只能選做2題,每小題10分,共計20分.
          請在答卷紙指定區(qū)域內(nèi)作答.解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟.
          A.選修4-1:幾何證明選講如圖,AD是∠BAC的平分線,⊙O過點A且與BC邊相切于點D,與AB,AC分別交于E,F(xiàn),求證:EF∥BC.
          B.選修4-2:矩陣與變換
          已知a,b∈R,若矩陣M=[
          -1
          b
          a
          3
          ]所對應的變換把直線l:2x-y=3變換為自身,求a,b的值.
          C.選修4-4:坐標系與參數(shù)方程將參數(shù)方程
          x=2(t+
          1
          t
          )
          y=4(t-
          1
          t
          )
          t為參數(shù))化為普通方程.
          D.選修4-5:已知a,b是正數(shù),求證(a+
          1
          b
          )(2b+
          1
          2a
          )≥92.

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          科目:高中數(shù)學 來源: 題型:

          從A,B,C,D四個中選做2個A.選修4-1(幾何證明選講)
          如圖,AB是半圓的直徑,C是AB延長線上一點,CD切半圓于點D,CD=2,DE⊥AB,垂足為E,且E是OB的中點,求BC的長.
          B.選修4-2(矩陣與變換)
          將曲線xy=1繞坐標原點按逆時針方向旋轉(zhuǎn)45°,求所得曲線的方程.
          C.選修4-4(坐標系與參數(shù)方程)
          求直線
          x=1+2t
          y=1-2t
          (t為參數(shù))被圓
          x=3cosa
          y=3sina
          (α為參數(shù))截得的弦長.
          D.選修4-5(不等式選講)
          已知x,y均為正數(shù),且x>y,求證:2x+
          1
          x2-2xy+y2
          ≥2y+3

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