Question

【題目】已知函數(shù)

（Ⅰ）討論函數(shù)的單調(diào)區(qū)間與極值；

（Ⅱ）若且恒成立，求的最大值；

（Ⅲ）在（Ⅱ）的條件下，且取得最大值時(shí)，設(shè)，且函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍，并證明：

Answer 1

【答案】（Ⅰ）答案見解析；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)， 最大為；（Ⅲ）證明過程見解析

【解析】試題分析：（Ⅰ）求導(dǎo)數(shù)，分類討論，利用導(dǎo)數(shù)的正負(fù)，討論函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間與極值；（Ⅱ）當(dāng)b>0時(shí)，由（Ⅰ）得，即可求的最大值；（Ⅲ） ，構(gòu)造函數(shù)，得出當(dāng)x→0（x>0）時(shí)，

F（x）→-∞；x→+∞時(shí)，F(xiàn)（x）→-m，再用分析法進(jìn)行證明即可．

試題解析：（Ⅰ）

當(dāng)時(shí)， 恒成立，函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，無極值；

當(dāng)時(shí)， 時(shí)， 時(shí)，，函數(shù)的單調(diào)減區(qū)間為，增區(qū)間為，有極小值；

（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，由（Ⅰ）得，

即當(dāng)時(shí)， 最大為

（Ⅲ）由（Ⅱ）知，當(dāng)取最大值1時(shí)， ，記，

，不妨設(shè)，由題意，則， ，欲證明，只需證明，只需證明，

即證明，即證，設(shè)，則只需證明，也就是證明，記，所以，所以在單調(diào)遞增，所以，所以原不等式成立.