Question

已知離心率為的橢圓過點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，平行于的直線交橢圓于不同的兩點(diǎn)。

（1）求橢圓的方程。

（2）證明：若直線的斜率分別為、，求證：+=0。

 

Answer 1

【答案】

（Ⅰ）．（Ⅱ）見解析。

【解析】

試題分析：(1)由于先由橢圓C的離心率和橢圓過點(diǎn)M（2，1），列出方程組，再由方程組求出a，b，由此能求出橢圓方程

（2）聯(lián)立直線與橢圓的方程，結(jié)合韋達(dá)定理得到根與系數(shù)的關(guān)系，那么再結(jié)合斜率公式得到證明。

解：（Ⅰ）設(shè)橢圓的方程為:．

由題意得:  ∴ 橢圓方程為．

（Ⅱ）由直線,可設(shè)，將式子代入橢圓得:

設(shè),則

設(shè)直線、的斜率分別為、，則 

下面只需證明：，事實(shí)上，

。

考點(diǎn)：本試題主要考查了橢圓方程的求法，考查三角形是等腰三角形的證明，解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意直線與橢圓的位置關(guān)系的靈活運(yùn)用。

點(diǎn)評(píng)：解決該試題的關(guān)鍵是能利用橢圓的性質(zhì)得到a,b,c,的值，進(jìn)而得到橢圓方程，同時(shí)能利用韋達(dá)定理得到斜率的關(guān)系式。