Question

如圖，三棱柱ABC-A₁B₁C₁的底面是邊長(zhǎng)為a的正三角形，側(cè)面ABB₁A₁是菱形且垂直于底面，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中點(diǎn)．
（1）求證：BM⊥AC；
（2）求二面角B-B₁C₁-A₁的正切值；
（3）求三棱錐M-A₁CB的體積．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)△BA₁B₁是等邊三角形，BM⊥A₁B₁ ，面ABB₁A₁垂直于底面，可得BM⊥面 A₁B₁C₁ ，從而得到BM⊥面ABC，
BM⊥AC．
（2）作MN⊥B₁C₁ ，證明∠MNB為二面角B-B₁C₁-A₁的平面角，由Rt△MNB中，tan∠MNB=

BM

MN

，運(yùn)算求得結(jié)果．
（3）三棱錐M-A₁CB的體積 V_M-A1CB=V_C-A1MB=

1

3

×(

1

2

• A1M•BM)•h，把點(diǎn)C到面A₁BM的距離h即等邊
三角形ABC的高

3

2

a，代入公式運(yùn)算求得結(jié)果．

解答：解：（1）∵側(cè)面ABB₁A₁是菱形，∠A₁AB=60°，M是A₁B₁的中點(diǎn)，
∴△BA₁B₁是等邊三角形，BM⊥A₁B₁ ．
再由面ABB₁A₁垂直于底面，可得BM⊥面 A₁B₁C₁ ．
故BM⊥面ABC，∴BM⊥AC．
（2）作MN⊥B₁C₁ ，由三垂線(xiàn)定理可得BN⊥B₁C₁ ，故∠MNB為二面角B-B₁C₁-A₁的平面角．
MN=BMsin60°=

a

2

×

3

2

=

3

4

a，BM=BB₁sin60°=

3

2

a．
Rt△MNB中，tan∠MNB=

BM

MN

=2．
所求二面角的正切值是2．
（3）三棱錐M-A₁CB的體積 V_M-A1CB=V_C-A1MB=

1

3

×(

1

2

• A1M•BM)•h，
而h是點(diǎn)C到面A₁BM的距離，即等邊三角形ABC的高為

3

2

a，
∴三棱錐M-A₁CB的體積為

1

3

×(

1

2

• 

a

2

•

3 a

2

)•

3

2

a=

1

16

a3．

點(diǎn)評(píng)：本題考查證明線(xiàn)線(xiàn)垂直的方法，求二面角的大小的方法，求棱錐的體積，體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，找出二面角的平面角并
求出棱錐的高，是解題的關(guān)鍵和難點(diǎn)．