Question

如圖，已知過點(diǎn)D(-2，0)的直線l與橢圓+y²=1交于不同的兩點(diǎn)A、B，點(diǎn)M是弦AB的中點(diǎn).

(1)若=+，求點(diǎn)P的軌跡方程；

(2)求的取值范圍.

Answer 1

解：(1)設(shè)直線l的方程為y=k(x+2)，P(x，y)，A(x₁，y₁)，B(x₂，y₂)，        

由得(1+2k²)x²+8k²x+8k²-2=0.                                  

∴Δ=64k⁴-4(1+2k²)(8k²-2)＞0.

∴0≤k²＜.                                                           

∵=+，

∴x=x₁+x₂=-，y=y₁+y₂=k(x₁+x₂+4)=，                       

消去k,得x²+2y²+4x=0.                                                   

又x=-∈(-2,0]，

∴點(diǎn)P的軌跡方程為x²+2y²+4x=0(-2＜x≤0).                              

(2)                   

=.                                

∵0≤k²＜，∴∈［,+∞).