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        1. 已知數(shù)列{an}中,前n項(xiàng)和為Sn,點(diǎn)(an+1,Sn+1)在直線y=4x-2,其中n=1,2,3…,
          (Ⅰ)設(shè)bn=an+1-2an,且a1=1,求證數(shù)列{bn}是等比數(shù)列;
          (Ⅱ)令f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn,求函數(shù)f(x)在點(diǎn)x=1處的導(dǎo)數(shù)f′(1)并比較f′(1)與
          6n2-3n的大。

          解:(I)由已知點(diǎn)(an+1,Sn+1)在直線y=4x-2上.
          ∴Sn+1=4(an+1)-2.
          即Sn+1=4an+2.(n=1,2,3,)
          ∴Sn+2=4an+1+2.
          兩式相減,得Sn+2-Sn+1=4an+1-4an
          即an+2=4an+1-4an.(3分)
          an+2-2an+1=2(an+1-2an).
          ∵bn=an+1-2an,(n=1,2,3,)
          ∴bn+1=2bn
          由S2=a1+a2=4a1+2,a1=1.
          解得a2=5,b1=a2-2a1=3.
          ∴數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3,公式為2的等比數(shù)列.(6分)
          (II)由(I)知bn=3•2n-1,
          ∵f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn
          ∴f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1
          從而f′(1)=b1+2b2+…+nbn
          =3+2•3•2+3•3•22+…+n•3•2n-1
          =3(1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1)(8分)
          設(shè)Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1,
          2Tn=2+2•22+3•23+…+(n-1)•2n-1+n•2n
          兩式相減,得-Tn=1+2+22+23+…+2n-1-n•2n
          =
          ∴Tn=(n-1)•2n+1.
          ∴f′(1)=3(n-1)•2n+3.(11分)
          由于f′(1)-(6n2-3n)=3[(n-1)•2n+1-2n2+n]
          =3(n-1)[2n-(2n+1)].
          設(shè)g(n)=f′(1)-(6n2-3n).
          當(dāng)n=1時(shí),g(1)=0,∴f′(1)=6n2-3n;
          當(dāng)n=2時(shí),g(2)=-3<0,∴f′(1)<6n2-3n;
          當(dāng)n≥3時(shí),n-1>0,又2n=(1+1)n=Cn0+Cn1+…+Cnn-1+Cnn≥2n+2>2n+1,
          ∴(n-1)[2n-(2n+1)]>0,即g(n)>0,從而f′(1)>6n2-3n.(14分)
          分析:(I)由點(diǎn)(an+1,Sn+1)在直線y=4x-2上,知Sn+1=4an+2.所以an+2=4an+1-4an.再由bn=an+1-2an,知bn+1=2bn.上此知數(shù)列{bn}是首項(xiàng)為3,公比為2的等比數(shù)列.
          (II)由bn=3•2n-1,f(x)=b1x+b2x2+…+bnxn,知f′(x)=b1+2b2x+…+nbnxn-1.從而f′(1)=b1+2b2+…+nbn=3(1+2•2+3•22+…+n•3•2n-1).Tn=1+2•2+3•22+…+n•2n-1,由錯(cuò)位相減法知Tn=(n-1)•2n+1.f′(1)=3(n-1)•2n+3.由f′(1)-(6n2-3n)=3[(n-1)•2n+1-2n2+n]能推導(dǎo)出f′(1)>6n2-3n.
          點(diǎn)評(píng):本題考查數(shù)列的性質(zhì)和應(yīng)用,解題時(shí)要注意不等式的合理運(yùn)用.
          練習(xí)冊(cè)系列答案
          相關(guān)習(xí)題

          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1-an=
          1
          3n+1
          (n∈N*)
          ,則
          lim
          n→∞
          an
          =
           

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,an+1=
          an
          1+2an
          ,則{an}的通項(xiàng)公式an=
          1
          2n-1
          1
          2n-1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,a1+2a2+3a3+…+nan=
          n+1
          2
          an+1(n∈N*)

          (1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式;
          (2)求數(shù)列{
          2n
          an
          }
          的前n項(xiàng)和Tn

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=
          1
          2
          ,Sn
          為數(shù)列的前n項(xiàng)和,且Sn
          1
          an
          的一個(gè)等比中項(xiàng)為n(n∈N*
          ),則
          lim
          n→∞
          Sn
          =
          1
          1

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          科目:高中數(shù)學(xué) 來(lái)源: 題型:

          已知數(shù)列{an}中,a1=1,2nan+1=(n+1)an,則數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為( 。
          A、
          n
          2n
          B、
          n
          2n-1
          C、
          n
          2n-1
          D、
          n+1
          2n

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          同步練習(xí)冊(cè)答案