Question

如圖，在五面體ABCDEF中，F(xiàn)A⊥平面ABCD，AD∥BC∥FE，AB⊥AD，M為EC的中點(diǎn)，
（I）求異面直線BF與DE所成的角的大��；
（II）證明平面AMD⊥平面CDE．

Answer 1

【答案】分析：（1）如圖所示，分別以AB、AD、AF為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系．算出B、C、D、E、F、M各點(diǎn)的坐標(biāo)，從而得到、的坐標(biāo)，利用空間向量的夾角公式算出cos＜，＞的值，即得異面直線BF與DE所成的角的大�。�
（2）利用數(shù)量積為零的兩個(gè)向量相互垂直，證出AM⊥CE且DM⊥CE，從而證出CE⊥平面AMD，結(jié)合面面垂直判定定理，即可證出平面AMD⊥平面CDE．
解答：解：分別以AB、AD、AF為x軸、y軸、z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示
設(shè)AB=1，依題意得B（1，0，0），C（1，1，0），D（0，2，0）
E（0，1，1），F(xiàn)（0，0，1），M（，1，）
（ I）=（-1，0，1），=（0，-1，1）
∴•=-1×0+0×（-1）+1×1=1
||==，||==
可得cos＜，＞===
∵＜，＞的范圍是[0，π]，∴＜，＞=
所以異面直線BF與DE所成的角的大小為．
（ II）∵=（，1，），=（-1，0，1），
∴•=×（-1）+1×0+×1=0，得⊥，
同理可得：•=0，得⊥
∵AM、DM是平面AMD內(nèi)的相交直線，∴CE⊥平面AMD
又∵CE?平面CDE，∴平面AMD⊥平面CDE．
點(diǎn)評(píng)：本題給出特殊五面體，求證面面垂直并求線線所成的角，著重考查了利用空間坐標(biāo)系解決異面直線所成角和證明面面垂直等知識(shí)點(diǎn)，屬于中檔題．