Question

（理科班）(12分)已知R,函數(shù)e.
(1)若函數(shù)f(x)存在極大值,并記為g(m),求g(m)的表達(dá)式;
（2）當(dāng)m=0時(shí),求證:.

Answer 1

(文科班) (1) a="4,b=24." (2)見解析

此題考查學(xué)生會(huì)利用導(dǎo)數(shù)求曲線上過某點(diǎn)切線方程的斜率，會(huì)根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)判斷函數(shù)的得到區(qū)間，是一道中檔題．
（1）求出f（x）的導(dǎo)函數(shù)，由曲線y=f（x）在點(diǎn)（1，f（1））處與直線y=2相切，把x=1代入導(dǎo)函數(shù)得到導(dǎo)函數(shù)值為0，把x=1代入f（x）中得到函數(shù)值為2，列出關(guān)于a與b的方程組，求出方程組的解即可得到a和b的值；
（2）把導(dǎo)函數(shù)分解因式，分a大于0和a小于0兩種情況討論導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)，即可得到函數(shù)的單調(diào)區(qū)間．
解： (1)f′(x)=3x²-3a,因?yàn)榍�線y=f(x)在點(diǎn)(2，f(2))處與直線y=8相切?，所以即
解得a=4,b=24.……………………6分
(2)f′(x)=3(x²－a)(a≠0).當(dāng)a<0時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)在(－∞,+∞)上單調(diào)遞增；此時(shí)函數(shù)f(x)沒有極值點(diǎn).?……………8分
當(dāng)a>0時(shí)，由f′(x)=0得x=±.
當(dāng)x∈(－∞,－,)時(shí)，f′(x)>0，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增；
當(dāng)x∈(－,)時(shí)，f′(x)<0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞減;
當(dāng)x∈(,+∞)時(shí)，f′(x)>0,函數(shù)f(x)單調(diào)遞增.
此時(shí)x=－是f(x)的極大值點(diǎn)，x=是f(x)的極小值點(diǎn). ……………12分