Question

在平面直角坐標(biāo)系中，已知矩形ABCD的長(zhǎng)為2，寬為1，AB、AD邊分別在x軸、y軸的正半軸上，A點(diǎn)與坐標(biāo)原點(diǎn)重合（如圖）．將矩形折疊，使A點(diǎn)落在線段DC上．
（I）若折痕所在直線的斜率為k，試求折痕所在直線的方程；
（II）當(dāng)時(shí)，求折痕長(zhǎng)的最大值；
（Ⅲ）當(dāng)-2≤k≤-1時(shí)，折痕為線段PQ，設(shè)t=k（2|PQ|²-1），試求t的最大值．

Answer 1

【答案】分析：（1）分情況討論斜率表示直線的方程
（2）表示出線段后，分類討論求最值
（3）表示線段，用均值不等式求最值
解答：解：（1）①當(dāng)k=0時(shí)，此時(shí)A點(diǎn)與D點(diǎn)重合，折痕所在的直線方程
②當(dāng)k≠0時(shí)，將矩形折疊后A點(diǎn)落在線段DC上的點(diǎn)記為G（a，1），
所以A與G關(guān)于折痕所在的直線對(duì)稱，
有k_OG•k=-1⇒⇒a=-k
故G點(diǎn)坐標(biāo)為G（-k，1），
從而折痕所在的直線與OG的交點(diǎn)坐標(biāo)
（線段OG的中點(diǎn)）為
折痕所在的直線方程，即
由①②得折痕所在的直線方程為：

（2）當(dāng)k=0時(shí)，折痕的長(zhǎng)為2；
當(dāng)時(shí)，折痕直線交BC于點(diǎn)，交y軸于
∵
∴折痕長(zhǎng)度的最大值為 
而
故折痕長(zhǎng)度的最大值為  
（3）當(dāng)-2≤k≤-1時(shí)，折痕直線交DC于，交x軸于
∵
∴
∵-2≤k≤-1
∴（當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取“=”號(hào)）
∴當(dāng)時(shí)，t取最大值，t的最大值是．
點(diǎn)評(píng)：本題考察內(nèi)容比較綜合，考察了求直線方程、求函數(shù)的最值、均值不等式、數(shù)形結(jié)合和分類討論思想，屬難題