【題目】設(shè)函數(shù)
， 
（
）.
（1）當(dāng)
時，若函數(shù)
與
的圖象在
處有相同的切線，求
的值；
（2）當(dāng)
時，若對任意
和任意
，總存在不相等的正實數(shù)
，使得
，求
的最小值；
（3）當(dāng)
時，設(shè)函數(shù)
與
的圖象交于
兩點．求證： 
.
【答案】（1）
（2）
（3）見解析
【解析】試題分析：（1）由導(dǎo)數(shù)幾何意義可得
，又
，解方程組可得
的值；（2）先轉(zhuǎn)化條件為對應(yīng)方程有兩個不等實根，再根據(jù)實根分布充要條件列不等式組，解得
的最小值；(3)先根據(jù)零點表示b，代入要證不等式化簡得
.再構(gòu)造函數(shù)
，以及
，結(jié)合導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，即證得結(jié)論
試題解析：解：（1）由
，得
，又
，所以
，.
當(dāng)
時， 
，所以
，所以
.
因為函數(shù)
與
的圖象在
處有相同的切線，
所以
，即
，解得
.
（2）當(dāng)
時，則
，又
，設(shè)
，
則題意可轉(zhuǎn)化為方程
在
上有相異兩實根
．
即關(guān)于
的方程
在
上有相異兩實根
．
所以
，得
，
所以
對
恒成立．
因為
，所以
（當(dāng)且僅當(dāng)
時取等號），
又
，所以
的取值范圍是
，所以
．
故
的最小值為
.
（3）當(dāng)
時，因為函數(shù)
與
的圖象交于
兩點，
所以
，兩式相減，得
.
要證明
，即證
，
即證
，即證
.
令
，則
，此時即證
．
令
，所以
，所以當(dāng)
時，函數(shù)
單調(diào)遞增．
又
，所以
，即
成立；
再令
，所以
，所以當(dāng)
時，函數(shù)
單調(diào)遞減，
又
，所以
，即
也成立．
綜上所述， 實數(shù)
滿足
.
科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】設(shè)f(x)是定義域為R的周期函數(shù)，最小正周期為2，且
f(1＋x)＝f(1－x)，當(dāng)－1≤x≤0時，f(x)＝－x.
(1)判斷f(x)的奇偶性；
(2)試求出函數(shù)f(x)在區(qū)間[－1，2]上的表達(dá)式.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】某城市隨機抽取一年（365天）內(nèi)100天的空氣質(zhì)量指數(shù)
（Air Pollution Index）的監(jiān)測數(shù)據(jù)，結(jié)果統(tǒng)計如下：
|
|
|
|
|
|
| 大于300 |
空氣質(zhì)量 | 優(yōu) | 良 | 輕微污染 | 輕度污染 | 中度污染 | 中度重 污染 | 重度污染 |
天數(shù) | 10 | 15 | 20 | 30 | 7 | 6 | 12 |
（Ⅰ）若本次抽取的樣本數(shù)據(jù)有30天是在供暖季，其中有7天為重度污染，完成下面
列聯(lián)表，并判斷能否有
的把握認(rèn)為該市本年空氣重度污染與供暖有關(guān)？
非重度污染 | 重度污染 | 合計 | |
供暖季 | |||
非供暖季 | |||
合計 | 100 |
| 0.25 | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
| 1.323 | 2.072 | 2.706 | 3.841 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
附： 
（Ⅱ）政府要治理污染，決定對某些企業(yè)生產(chǎn)進(jìn)行管控，當(dāng)
在區(qū)間
時企業(yè)正常生產(chǎn)；當(dāng)
在區(qū)間
時對企業(yè)限產(chǎn)
（即關(guān)閉
的產(chǎn)能），當(dāng)
在區(qū)間
時對企業(yè)限產(chǎn)
，當(dāng)
在300以上時對企業(yè)限產(chǎn)
，企業(yè)甲是被管控的企業(yè)之一，若企業(yè)甲正常生產(chǎn)一天可得利潤2萬元，若以頻率當(dāng)概率，不考慮其他因素：
①在這一年中隨意抽取5天，求5天中企業(yè)被限產(chǎn)達(dá)到或超過
的恰為2天的概率；
②求企業(yè)甲這一年因限產(chǎn)減少的利潤的期望值．
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
(1)當(dāng)
時,求函數(shù)
的單調(diào)遞增區(qū)間;
(2)在區(qū)間
內(nèi)至少存在一個實數(shù)
,使得
成立,求實數(shù)
的取值范圍.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知函數(shù)
，且
.
（Ⅰ）設(shè)
，求
的單調(diào)區(qū)間及極值；
（Ⅱ）證明：函數(shù)
的圖象在函數(shù)
的圖象的上方.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】共享單車因綠色、環(huán)保、健康的出行方式，在國內(nèi)得到迅速推廣.最近，某機構(gòu)在某地區(qū)隨機采訪了10名男士和10名女士，結(jié)果男士、女士中分別有7人、6人表示“經(jīng)常騎共享單車出行”，其他人表示“較少或不選擇騎共享單車出行”.
（1）從這些男士和女士中各抽取一人，求至少有一人“經(jīng)常騎共享單車出行”的概率；
（2）從這些男士中抽取一人，女士中抽取兩人，記這三人中“經(jīng)常騎共享單車出行”的人數(shù)為
，求
的分布列與數(shù)學(xué)期望.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
，其焦距為2，離心率為
（1）求橢圓
的方程；
（2）設(shè)橢圓的右焦點為
， 
為
軸上一點，滿足
，過點
作斜率不為0的直線
交橢圓于
兩點，求
面積
的最大值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】在平面直角坐標(biāo)系
中，已知直線
與橢圓
交于點
， 
（
在
軸上方），且
.設(shè)點
在
軸上的射影為
，三角形
的面積為2（如圖1）.
（1）求橢圓的方程；
（2）設(shè)平行于
的直線與橢圓相交，其弦的中點為
.
①求證：直線
的斜率為定值；
②設(shè)直線
與橢圓相交于兩點
， 
（
在
軸上方），點
為橢圓上異于
， 
， 
， 
一點，直線
交
于點
， 
交
于點
，如圖2，求證： 
為定值.
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科目：高中數(shù)學(xué) 來源： 題型：
【題目】已知橢圓
的一個焦點坐標(biāo)為
．
（Ⅰ）求橢圓
的方程；
（Ⅱ）已知點
，過點
的直線
（與
軸不重合）與橢圓
交于
兩點，直線
與直線
相交于點
，試證明：直線
與
軸平行．
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