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        1. 22.設(shè)a0為常數(shù),且an=3n1-2an1n∈N+).

           

          (Ⅰ)證明對任意n≥1,an=[3n+(-1)n1·2n]+(-1)n·2na0;

           

          (Ⅱ)假設(shè)對任意n≥1有an>an1,求a0的取值范圍.

           

          22.

          (Ⅰ)證法一:(i)當(dāng)n=1時,由已知a1=1-2a0.等式成立;

          (ii)假設(shè)當(dāng)n=kk≥1)等式成立,即ak=[3k+(-1)k12k]+(-1)k2ka0,

          那么ak+1=3k-2ak=3k[3k+(-1)k1·2k]-(-1)k2k+1a0

          =[3k+1+(-1)k2k+1]+(-1)k+12k+1a0,

          也就是說,當(dāng)n=k+1時,等式也成立.

          根據(jù)(i)和(ii),可知等式對任何nN+成立.

           

          證法二:如果設(shè)ana3n=-2(an1a3n1),

           

          an=3n1-2an1代入,可解出a=.

           

          所以{an}是公比為-2,首項為a1的等比數(shù)列,

           

          an=(1-2a0)(-2)n1nN+),

           

          an= +(-1)n2na0.

           

          (Ⅱ)解法一:由an通項公式

          anan1=+(-1)n3×2n1a0

           

          an>an1n∈N+)等價于(-1)n15a0-1)<(n2nN+).            ①

          (i)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,…時,

           

          ①式即為(-1)2k25a0-1)<(2k3

          即為a0<2k3+.                                                       ②

           

          ②式對k=1,2,…都成立,有a0<×(1+=.

           

          (ii)當(dāng)n=2k,k=1,2,…時,①式即為(-1)2k1·(5a0-1)<(2k2,

          即為a0>-×(2k2+.                                                ③

           

          ③式對k=1,2,…都成立,有a0>-×(2×12+=0.

           

          綜上,①式對任意n∈N+成立,有0<a0<.

           

          a0的取值范圍為(0,).

           

          解法二:如果an>an1nN+)成立,特別取n=1,2有a1a0=1-3a0>0,a2a1=6a0>0,

           

          因此0<a0<.

           

          下面證明當(dāng)0<a0<時,對任意nN+,有anan1>0.

           

          an通項公式5(anan1)=2×3n1+(-1)n13×2n1+(-1)n5×3×2n1a0.

           

          (i)當(dāng)n=2k-1,k=1,2,…時,

           

          5(anan1)=2×3n1+3×2n1-5×3×2n1a0>2×2n1+3×2n1-5×2n1=0.

           

          (ii)當(dāng)n=2kk=1,2,…時,

           

          5(anan1)=2×3n1-3×2n1+5×3×2n1a0>2×3n1-3×2n1≥0.

           

          a0的取值范圍為(0,).


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          (1)若數(shù)列{an+λ3n}是等比數(shù)列,求實數(shù)λ的值;
          (2)求數(shù)列{an}的通項公式;
          (3)假設(shè)對任意n≥1,有an≥an-1,求a0的取值范圍.

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