Question

（2009•閘北區(qū)二模）如圖，在四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，OA=2，M為OA的中點(diǎn)．
（Ⅰ）求四棱錐O-ABCD的體積；
（Ⅱ）求異面直線(xiàn)OB與MD所成角的大小．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由于四棱錐O-ABCD中，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形，OA⊥底面ABCD，故可求得，正方形ABCD的面積S=4，高OA=2，所以可求棱錐O-ABCD的體積
（Ⅱ）設(shè)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，則∠EMD為異面直線(xiàn)OC與MD所成的角（或其補(bǔ)角），利用△DEM為直角三角形可求．

解答：解：（Ⅰ）由已知可求得，正方形ABCD的面積S=4，
所以，求棱錐O-ABCD的體積V=

1

3

×4×2=

8

3

（Ⅱ）設(shè)線(xiàn)段AC的中點(diǎn)為E，連接ME，則∠EMD為異面直線(xiàn)OC與MD所成的角（或其補(bǔ)角）
由已知，可得DE=

2

，EM=

3

，MD=

5

，
∵(

2

)2+(

3

)2=(

5

)2
∴△DEM為直角三角形
∴tan∠EMD=

DE

EM

=

6

3

，
∴∠EMD=arctan

6

3

．
所以，異面直線(xiàn)OC與MD所成角的大小arctan

6

3

．

點(diǎn)評(píng)：本題的考點(diǎn)是異面直線(xiàn)及其所成的角，主要考查異面直線(xiàn)OC與MD所成的角，考查棱錐的體積，關(guān)鍵是找出異面直線(xiàn)OC與MD所成的角