Question

如圖，已知拋物線C的頂點(diǎn)在原點(diǎn)，焦點(diǎn)F在x軸上，拋物線上的點(diǎn)A到F的距離為2，且A的橫坐標(biāo)為1．過(guò)A點(diǎn)作拋物線C的兩條動(dòng)弦AD、AE，且AD、AE的斜率滿(mǎn)足k_AD•k_AE=2．
（1）求拋物線C的方程；
（2）直線DE是否過(guò)某定點(diǎn)？若過(guò)某定點(diǎn)，請(qǐng)求出該點(diǎn)坐標(biāo)；若不過(guò)某定點(diǎn)，請(qǐng)說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（1）設(shè)拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），由拋物線定義及|AF|=2即可求得p值；
（2）設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），DE方程為x=my+n（m≠0），直線DE方程與拋物線方程聯(lián)立消x得y的方程，由韋達(dá)定理及k_AD•k_AE=2可得關(guān)于m，n的關(guān)系式，從而直線DE方程可用m表示，由直線方程的點(diǎn)斜式即可求得定點(diǎn)．

解答：解：（1）設(shè)拋物線方程為C：y²=2px（p＞0），
由其定義知|AF|=1+

p

2

，又|AF|=2，
所以p=2，y²=4x；
（2）易知A（1，2），設(shè)D（x₁，y₁），E（x₂，y₂），
DE方程為x=my+n（m≠0），
把DE方程代入C，并整理得y²-4my-4n=0，△=16（m²+n）＞0，y₁+y₂=4m，y₁y₂=-4n，
由kAD•kAE=

y1-2

x1-1

•

y2-2

x2-1

=2及

y

2 1

=4x1，

y

2 2

=4x2，得y₁y₂+2（y₁+y₂）=4，即-4n+2×4m=4，
所以n=2m-1，代入DE方程得：x=my+2m-1，即（y+2）m=x+1，
故直線DE過(guò)定點(diǎn)（-1，-2）．

點(diǎn)評(píng)：本題考查直線與圓錐曲線的位置關(guān)系及拋物線方程的求解，考查直線方程的點(diǎn)斜式，考查學(xué)生分析解決問(wèn)題的能力．