Question

已知正方形ABCD的邊長(zhǎng)為4，對(duì)角線AC與BD交于點(diǎn)O，將正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成60°的二面角，A點(diǎn)變?yōu)锳′點(diǎn)．給出下列判斷：①A′C⊥BD；②A′D⊥CO；③△A′OC為正三角形；④cos∠A′DC=

3

4

；⑤A′到平面BCD的距離為

6

．其中正確判斷的個(gè)數(shù)為（　�。�

A．2

B．3

C．4

D．5

Answer 1

分析：折起后A到A′，知∠A′OC即為二面角A′-BD-C的平面角，即∠A′OC=60°，且A′O=OC．△A′OC為正三角形；由BD⊥平面A′OC，知BD⊥A′C；在△A′DC中，A′D=DC=4，
A′C=A′O=2

2

，由余弦定理知cos∠A′DC=

3

4

；正△A′OC的邊OC上的高為A′到平面BCD的距離為

6

．

解答：解：如圖所示，正方形ABCD沿對(duì)角線BD折成60°的二面角后，A點(diǎn)變?yōu)锳′點(diǎn)，
∴∠A′OC即為二面角A′-BD-C的平面角，即∠A′OC=60°，
∵A′O=OC，∴△A′OC為正三角形，故③正確；
∵BD⊥平面A′OC，故BD⊥A′C，即①正確；
在△A′DC中，A′D=DC=4，A′C=A′O=2

2

，
由余弦定理知cos∠A′DC=

3

4

，故④正確；
正△A′OC的邊OC上的高為A′到平面BCD的距離為

6

．⑤正確，而②不正確；
∴正確的判斷有4個(gè)．
答案：C

點(diǎn)評(píng)：本題考查空間點(diǎn)、線、面的間的距離計(jì)算，綜合性強(qiáng)，難度大，是高考的重點(diǎn)．解題時(shí)要認(rèn)真審題，仔細(xì)解答，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．