Question

已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若對(duì)于任意實(shí)數(shù)（x₁，y₁）∈M，存在（x₂，y₂）∈M，使得x₁x₂+y₁y₂=0成立，則稱(chēng)集合M是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．給出下列四個(gè)集合：
①M(fèi)={(x，y)|y=

1

x

}；
②M={（x，y）|y=e^x-2}；
③M={（x，y）|y=cosx}
④M={（x，y）|y=lnx}．
其中是“垂直對(duì)點(diǎn)集”的序號(hào)是

②③

．

Answer 1

分析：對(duì)于①，利用x1x2+

1

x1x2

=0無(wú)實(shí)數(shù)解，判斷其正誤即可．
對(duì)于②，畫(huà)出函數(shù)y=e^x-2圖象，利用圖象說(shuō)明函數(shù)滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于③，畫(huà)出函數(shù)y=cosx圖象，利用圖象說(shuō)明函數(shù)滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”的定義，即可判斷正誤；
對(duì)于④，畫(huà)出函數(shù)y=lnx圖象，取一個(gè)特殊點(diǎn)即能說(shuō)明不滿足“垂直對(duì)點(diǎn)集”定義．

解答：解：對(duì)于①，注意到x1x2+

1

x1x2

=0無(wú)實(shí)數(shù)解，因此①不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”； 
對(duì)于②，如下左圖，注意到過(guò)原點(diǎn)任意作一條直線與曲線y=e^x-2相交，過(guò)原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線y=e^x-2相交，因此②是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于③，如下中圖，注意到過(guò)原點(diǎn)任意作一條直線與曲線y=cosx相交，過(guò)原點(diǎn)與該直線垂直的直線必與曲線y=cosx相交，因此③是“垂直對(duì)點(diǎn)集”；
對(duì)于④，如下右圖，注意到對(duì)于點(diǎn)（1，0），不存在（x₂，y₂）∈M，使得1×x₂+0×lnx₂=0，因?yàn)閤₂=0與真數(shù)的限制條件x₂＞0矛盾，因此④不是“垂直對(duì)點(diǎn)集”．

故答案為：②③

點(diǎn)評(píng)：本題考查了命題真假的判斷與應(yīng)用，考查了元素與集合的關(guān)系，考查了數(shù)形結(jié)合的思想，解答的關(guān)鍵是對(duì)新定義的理解，是中檔題．