Question

已知函數(shù)（為自然對數(shù)的底數(shù)），（為常數(shù)），是實數(shù)集上的奇函數(shù)．
（1）求證：；
（2）討論關于的方程：的根的個數(shù)；
（3）設，證明：（為自然對數(shù)的底數(shù)）．

Answer 1

（1）證明詳見解析.（2）；；.（3）證明詳見解析.

解析試題分析：（1）構造函數(shù)則，求出>0時x的取值，即函數(shù)h（x）的單調增區(qū)間，時x的取值，即函數(shù)h（x）的單調減區(qū)間，可得即即可.（2）由是 上的奇函數(shù)可得，構造函數(shù)求，根據(jù)導數(shù)的性質求出函數(shù)的單調區(qū)間，函數(shù)的最大值為，然后再根據(jù)直線y=m與函數(shù)的交點個數(shù)判斷原方程根的個數(shù)情況.（3）由（1）知,令，
試題解析：（1）證:令,令時
時,.  ∴
∴ 即.   4分
（2）為R上的奇函數(shù)，
令
   8分

。
（3）由（1）知,令，則，所以原式=++···++1，然后用縮放法證明即可.
于是，
∴=++···++1
++···++1=    .12分
考點：1.求函數(shù)的導數(shù)；2.導數(shù)的性質和函數(shù)的零根；3.不等式的證明.