Question

【題目】已知?jiǎng)訄A過定點(diǎn)且與圓相切，記動(dòng)圓圓心的軌跡為曲線.

（1）求曲線的方程；

（2）過點(diǎn)且斜率不為零的直線交曲線于， 兩點(diǎn)，在軸上是否存在定點(diǎn)，使得直線的斜率之積為非零常數(shù)？若存在，求出定點(diǎn)的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由.

Answer 1

【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為．

【解析】試題分析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，則可得，從而可得結(jié)果；（Ⅱ）依題意可設(shè)直線的方程為， ， ，聯(lián)立直線方程與橢圓方程，假設(shè)存在定點(diǎn)，根據(jù)韋達(dá)定理， ，由可得結(jié)論.

試題解析：（Ⅰ）設(shè)動(dòng)圓的半徑為，

由： 及知點(diǎn)在圓內(nèi)，則有

從而，

所以的軌跡是以， 為焦點(diǎn)，長軸長為4的橢圓，

設(shè)曲線的方程為，則， ，

所以， ，

故曲線的軌跡方程為．

（Ⅱ）依題意可設(shè)直線的方程為， ， ，

由得，

所以則，

，

假設(shè)存在定點(diǎn)，使得直線， 的斜率之積為非零常數(shù)，則

，

所以 ，

要使為非零常數(shù)，當(dāng)且僅當(dāng)解得，

當(dāng)時(shí)，常數(shù)為，

當(dāng)時(shí)，常數(shù)為，

所以存在兩個(gè)定點(diǎn)和，使直線， 的斜率之積為常數(shù)，當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為；當(dāng)定點(diǎn)為時(shí)，常數(shù)為．

【方法點(diǎn)晴】本題主要考查待定義法求橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程以及解析幾何中的存在性問題，屬于難題.解決存在性問題，先假設(shè)存在，推證滿足條件的結(jié)論，若結(jié)論正確則存在，若結(jié)論不正確則不存在，注意：①當(dāng)條件和結(jié)論不唯一時(shí)要分類討論；②當(dāng)給出結(jié)論而要推導(dǎo)出存在的條件時(shí)，先假設(shè)成立，再推出條件；③當(dāng)條件和結(jié)論都不知，按常規(guī)方法題很難時(shí)采取另外的途徑.