Question

直線l：y=k（x-1）過(guò)已知橢圓C：

x2

a2

+

y2

b2

=1經(jīng)過(guò)點(diǎn)（0，

3

），離心率為

1

2

，經(jīng)過(guò)橢圓C的右焦點(diǎn)F的直線l交橢圓于A、B兩點(diǎn)，點(diǎn)A、F、B在直線x=4上的射影依次為點(diǎn)D、K、E．
（Ⅰ）求橢圓C的方程；
（Ⅱ）若直線l交y軸于點(diǎn)M，且

MA

=λ

AF

，

MB

=μ

BF

，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，探求λ+μ的值是否為定值？若是，求出λ+μ的值，否則，說(shuō)明理由；
（Ⅲ）連接AE、BD，試探索當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，直線AE與BD是否相交于定點(diǎn)？若是，請(qǐng)求出定點(diǎn)的坐標(biāo)，并給予證明；否則，說(shuō)明理由．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由題設(shè)知b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，因?yàn)閍²=b²+c²a²=4，c²=1，由此能求出橢圓C的方程．
（Ⅱ）設(shè)直線l方程y=k（x-1），且l與y軸交于M（0，-1），設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，再由韋達(dá)定理結(jié)合題設(shè)條件能夠推導(dǎo)出當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，λ+μ的值為定值-

8

3

．
（Ⅲ）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l⊥X軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N(

5

2

，0)，猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

5

2

，0)．
證明：由A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），知D（4，y₁），E（4，y₂）．當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過(guò)定點(diǎn)N(

5

2

，0)，再證點(diǎn)N(

5

2

，0)也在直線l_BD上；所以當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(

5

2

，0)．

解答：解：（Ⅰ）由題設(shè)知b=

3

，e=

c

a

=

1

2

，因?yàn)閍²=b²+c²a²=4，c²=1，∴橢圓C的方程

x2

4

+

y2

3

=1（3分）
（Ⅱ）易知直線l的斜率存在，設(shè)直線l方程y=k（x-1），且l與y軸交于M（0，-k），設(shè)直線l交橢圓于A（x₁，y₁），B（x₂，y₂）
由

y=k(x-1) x2 4 + y2 3 =1

得（3+4k²）x²-8k²x+4k²-12=0，
∴x1+x2=

8k2

3+4k2

，x1•x2=

4k2-12

3+4k2

（6分）
又由

MA

=λ

AF

，
∴（x₁，y₁）=λ（1-x₁，-y₁），
∴λ=

x1

1-x1

，同理∴μ=

x2

1-x2

（8分）
∴λ+μ=

x1

1-x1

+

x2

1-x2

=

x1+x2-2x1•x2

1-(x1+x2)+x1•x2

=-

8

3

所以當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，λ+μ的值為定值-

8

3

；（10分）
（Ⅲ）當(dāng)直線l斜率不存在時(shí)，直線l⊥X軸，則ABED為矩形，由對(duì)稱性知，AE與BD相交FK的中點(diǎn)N(

5

2

，0)，
猜想，當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)N(

5

2

，0)（11分）
證明：由（Ⅱ）知A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），∴D（4，y₁），E（4，y₂）
當(dāng)直線l的傾斜角變化時(shí)，首先證直線AE過(guò)定點(diǎn)N(

5

2

，0)，∵lAE：y-y2=

y2-y1

4-x1

•(x-4)
當(dāng)x=

5

2

時(shí)，y=y2+

y2-y1

4-x1

•(-

3

2

)=

2(4-x1)•y2-3(y2-y1)

2(4-x1)

=

2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)

2(4-x1)

=

2(4-x1)•k(x2-1)-3k(x2-x1)

2(4-x1)

=

-8k-2kx2x1+5k(x2+x1)

2(4-x1)

=0∴點(diǎn)N(

5

2

，0)在直線l_AE上，同理可證，點(diǎn)N(

5

2

，0)也在直線l_BD上；∴當(dāng)m變化時(shí)，AE與BD相交于定點(diǎn)(

5

2

，0)

點(diǎn)評(píng)：本題主要考查直線與圓錐曲線的綜合應(yīng)用能力，具體涉及到軌跡方程的求法及直線與橢圓的相關(guān)知識(shí)，解題時(shí)要靈活運(yùn)用圓錐曲線性質(zhì)，注意合理地進(jìn)行等價(jià)轉(zhuǎn)化．