Question

設(shè)f（x）是定義在R上的一個(gè)增函數(shù)，F(xiàn)（x）=f（x）-f（-x），那么F（x）為

1. A.
   增函數(shù)且是奇函數(shù)
2. B.
   增函數(shù)且是偶函數(shù)
3. C.
   減函數(shù)且是奇函數(shù)
4. D.
   減函數(shù)且是偶函數(shù)

Answer 1

A
分析：用定義驗(yàn)證奇偶性，再根據(jù)單調(diào)性的判斷規(guī)則確定函數(shù)的單調(diào)性即可
解答：∵F（x）=f（x）-f（-x），∴F（-x）=f（-x）-f（x）=-[f（x）-f（-x）]=-F（x），∴F（x）必定是奇函數(shù)．
又f（x）是定義在R上的任意一個(gè)增函數(shù)，由復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性知f（-x）是定義在R上的任意一個(gè)減函數(shù)，
故f（x）-f（-x）是一個(gè)增函數(shù)
故F（x）為增函數(shù)且為奇函數(shù)
故選A
點(diǎn)評(píng)：題考查函數(shù)奇偶性的判斷以及函數(shù)單調(diào)性的判斷，屬于函數(shù)性質(zhì)中的基本題型．題目難度較小，其中判斷函數(shù)的單調(diào)性用上了判斷規(guī)律，要注意總結(jié)規(guī)律．