Question

12分）設(shè)函數(shù)f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，a∈R，
（1）若f（x）在x=3處取得極值，求實(shí)數(shù)a的值；
（2）在（1）的條件下，求函數(shù)f（x）的單調(diào)區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)；再根據(jù)f（x）在x=3處取得極值對應(yīng)的結(jié)論f′（3）=0即可求實(shí)數(shù)a的值；
（2）先求原函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)f′（x）＞0求得的區(qū)間是單調(diào)增區(qū)間，f′（x）＜0求得的區(qū)間是單調(diào)減區(qū)間，即可．

解答：解：因為f（x）=2x³-3（a+1）x²+6ax+8，
所以：f′（x）=6x²-6（a+1）x+6a=6（x-a）（x-1）
（1）∵f（x）在x=3處取得極值
∴f′（3）=0⇒6（3-a）（3-1）=0⇒a=3；
（2）∵a=3，
∴f′（x）=6（x-3）（x-1）．
令f′（x）＞0⇒x＞3或x＜1．
令f′（x）＜0⇒1＜x＜3
所以函數(shù)的增區(qū)間為（-∞，1]，[3，+∞）．
減區(qū)間為：[1，3]．

點(diǎn)評：本小題主要考查函數(shù)單調(diào)性的應(yīng)用、利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、不等式的解法等基礎(chǔ)知識，考查運(yùn)算求解能力，轉(zhuǎn)化思想．