Question

如圖所示，在底面邊長(zhǎng)為2a的正三棱柱ABC—A₁B₁C₁中，高為a,E、F分別是側(cè)棱BB₁和CC₁上的點(diǎn)，且BE=BB₁，CF=CC₁.

(1)求點(diǎn)A到側(cè)面BB₁C₁C的距離；

(2)求截面AEF與底面ABC所成二面角的大��；

(3)求EF與AC所成角的余弦值.

Answer 1

解:(1)作AG⊥BC于G點(diǎn)，

∵BB₁⊥平面ABC,

∴平面ABC⊥平面BB₁C₁C，AG⊥平面B₁C₁CB.

∴AG為A到側(cè)面的距離，G在BC上.

又∵△ABC是邊長(zhǎng)為2a的正三角形，

∴G為BC的中點(diǎn)，AG=a,即點(diǎn)A到側(cè)面BB₁C₁C的距離為a.

(2)延長(zhǎng)FE交CB的延長(zhǎng)線于H點(diǎn)，連結(jié)AH，則AH=面AEF∩面ABC.

∵BE∥CF，BE=C₁F=CF,

∴CB=BH=AB=2a,

∠CAH=90°.

又∵CC₁⊥平面ABC,

∴FA⊥AH,∠FAC為所求二面角的平面角.

在Rt△FCA中，tan∠FAC=.

∴∠FAC=30°,即截面AEF與底面ABC成30°角.

(3)過(guò)F作FI∥AC交AA₁于I點(diǎn)，連結(jié)IE，則∠IFE為異面直線EF與AC所成的角(或補(bǔ)角).

IF=2a,FE=a=IE.

∴cos∠IFE=.