Question

（2013•深圳一模）已知函數(shù)f(x)=2sin(

πx

6

+

π

3

)(0≤x≤5)，點(diǎn)A、B分別是函數(shù)y=f（x）圖象上的最高點(diǎn)和最低點(diǎn)．
（1）求點(diǎn)A、B的坐標(biāo)以及

OA

•

OB

的值；
（2）設(shè)點(diǎn)A、B分別在角α、β的終邊上，求tan（α-2β）的值．

Answer 1

分析：（1）根據(jù)x的范圍以及正弦函數(shù)的定義域和值域，求得-

1

2

≤sin(

πx

6

+

π

3

)≤1，由此求得圖象上的最高頂、最低點(diǎn)的坐標(biāo)及

OA

•

OB

的值．
（2）由點(diǎn)A（1，2）、B（5，-1）分別在角α、β的終邊上，求得tanα、tanβ的值，從而利用二倍角公式求得tan2β的值，再利用兩角和的正切公式求得tan（α-2β）的值．

解答：解：（1）∵0≤x≤5，∴

π

3

≤

πx

6

+

π

3

≤

7π

6

，…（1分）
∴-

1

2

≤sin(

πx

6

+

π

3

)≤1．  …（2分）
當(dāng)

πx

6

+

π

3

=

π

2

，即x=1時(shí)，sin(

πx

6

+

π

3

)=1，f（x）取得最大值2；
當(dāng)

πx

6

+

π

3

=

7π

6

，即x=5時(shí)，sin(

πx

6

+

π

3

)=-

1

2

，f（x）取得最小值-1．
因此，點(diǎn)A、B的坐標(biāo)分別是A（1，2）、B（5，-1）．   …（4分）
∴

OA

•

OB

=1×5+2×(-1)=3．   …（6分）
（2）∵點(diǎn)A（1，2）、B（5，-1）分別在角α、β的終邊上，
∴tanα=2，tanβ=-

1

5

，…（8分）
∵tan2β=

2×(- 1 5 )

1-(- 1 5 )2

=-

5

12

，…（10分）
∴tan(α-2β)=

2-(- 5 12 )

1+2•(- 5 12 )

=

29

2

． …（12分）

點(diǎn)評(píng)：本小題主要考查了三角函數(shù)f（x）=Asin（ωx+?）的圖象與性質(zhì)，三角恒等變換，以及平面向量的數(shù)量積等基礎(chǔ)知識(shí)，
考查了簡單的數(shù)學(xué)運(yùn)算能力，屬于中檔題．