Question

已知直線a與平面α所成的角為15°，點P為空間一定點，過點P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作（　　）

A．2條

B．3條

C．4條

D．無數(shù)條

Answer 1

分析：設直線a與平面α交于點A，過點A作與α成45°的直線，它在如圖的軸截面為等腰直角三角形的圓錐側面上運動．設a在α內(nèi)的射影為直線b，a、b確定的平面為β，由直線與平面所成角的性質(zhì)可得當圓錐的母線在落在平面β內(nèi)時，它與a所成角為60°或30°．由此將圓錐的母線繞點A旋轉并觀察母線與直線a所成角的變化，可得圓錐側面上共有三條母線所在的直線與a所成角為60°，由此結合異面直線所成角的定義可得滿足條件的直線l的條數(shù)．

解答：解：設直線a與平面α相交于點A，a在α內(nèi)的射影直線為b，
設圓錐的頂點為A點，圓錐的軸AO⊥平面α，圓錐的軸截面為等腰
Rt△ABC，如圖所示．
可得圖中圓錐的任意一條母線與平面α所成角都等于45°，
設直線c為圓錐的一條母線所在直線，直線a、b確定的平面為β，
由直線與平面所成角的性質(zhì)，可得當c落在平面β內(nèi)時，
直線c與直線a所成角等于45°+15°或45°-15°，
當c與AB所在直線重合時，c與a所成角為60°；當c與AC所在直線重合時，c與a所成角為30°．
當直線c從AC的位置按順時針方向旋轉到AB位置時，a、c所成角從30°增大到90°，再減小到60°，
這個過程中必定有一個位置滿足c與a所成角為60°；
同理當直線c從AC的位置按逆時針方向旋轉到AB位置時，這個過程中也存在一個位置滿足c與a所成角為60°．
綜上所述，經(jīng)過點A的直線c共有3條滿足c與a所成角為60°．
將滿足條件的直線c平移到使它經(jīng)過空間的點P得到直線l，
根據(jù)異面直線所成角的定義，可得直線l與直線a所成角為60°，滿足條件的直線l有3條．
∴過點P作與α成45°、與a成60°的直線l可以作3條．
故選：B

點評：本題給出直線a與平面α所成角的大小，求過點P作與α成45°且與a成60°的直線l的條數(shù)．著重考查了異面直線所成角的定義及性質(zhì)直線與平面所成角的性質(zhì)及其應用等知識，屬于中檔題．