Question

設(shè)y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+1）=-f（x），且在[-1，0]上是增函數(shù)，給出下列關(guān)于函數(shù)y=f（x）的判斷：
①y=f（x）是周期函數(shù)；
②y=f（x）的圖象關(guān)于直線x=1對稱；
③y=f（x）在[0，1]上是增函數(shù)；
④f(

1

2

)=0．
其中正確判斷的序號是

 

．（把你認為正確判斷的序號都填上）

Answer 1

分析：由題意y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)，滿足f（x+1）=-f（x），可以知道該函數(shù)的周期為2，在利用f（x）為偶函數(shù)且在[-1，0]上為增函數(shù)，可以由題意畫出一個草圖即可判斷．

解答：解：因為f（x+1）=-f（x）  所以f（x+2）=-f（x+1）=f（x），由函數(shù)的周期定義可知該函數(shù)的周期為2，由于f（x）為定義在R上的偶函數(shù)且在[-1，0]上為單調(diào)遞增函數(shù)，所以由題意可以畫出一下的函數(shù)草圖為：

由圖及題中條件可以得到：
①正確，周期T=2；
②由圖可以知道該函數(shù)關(guān)于x=1對稱，所以②正確；
③有已知條件 y=f（x）是定義在R上的偶函數(shù)且在[-1，0]上是增函數(shù)，所以y=f（x）在[0，1]上為單調(diào)遞減函數(shù)，故③錯；
④對于f（x+1）=-f（x），令x=-

1

2

，得到：f（

1

2

）=-f（-

1

2

）?f(

1

2

)=-f(

1

2

)（因為函數(shù)f（x）為偶函數(shù)）∴f(

1

2

)=0故④正確．

點評：此題考查了函數(shù)的周期性，對稱性及有抽象函數(shù)式子賦值的方法，還考查了學生對于抽象問題的具體化及數(shù)形結(jié)合的思想．