Question

已知橢圓的上頂點為,左焦點為,直線與圓相切.過點的直線與橢圓交于兩點.
(I)求橢圓的方程;
(II)當(dāng)的面積達(dá)到最大時,求直線的方程.

Answer 1

（1）（2）

試題分析：解:(I)將圓的一般方程化為標(biāo)準(zhǔn)方程,則圓的圓心,半徑.由得直線的方程為.
由直線與圓相切,得,
所以或(舍去).
當(dāng)時,,
故橢圓的方程為.  5分
(II)由題意可知,直線的斜率存在,設(shè)直線的斜率為,
則直線的方程為.
因為點在橢圓中
所以對任意,直線都與橢圓C交于不同的兩點
由得
設(shè)點P,Q的坐標(biāo)分別為，則


又因為點A到直線的距離
所以的面積為   10分
設(shè)，則且

因為,
所以當(dāng)時,的面積達(dá)到最大,
此時,即.
故當(dāng)的面積達(dá)到最大時,直線的方程為. 12分
點評：本試題主要是考查了直線與橢圓的位置關(guān)系的綜合運用，屬于中檔題。