Question

已知曲線C：xy-4x+4=0，數(shù)列{a_n}的首項(xiàng)a₁=4，且當(dāng)n≥2時(shí)，點(diǎn)（a_n-1，a_n）恒在曲線C上，數(shù)列{b_n}滿足．
（1）試判斷數(shù)列{b_n}是否是等差數(shù)列？并說(shuō)明理由；
（2）求數(shù)列{a_n}和{b_n}的通項(xiàng)公式；
（3）設(shè)數(shù)列{c_n}滿足a_nb_n²c_n=1，試比較數(shù)列{c_n}的前n項(xiàng)和S_n與2的大小．

Answer 1

解：（1）∵當(dāng)n≥2時(shí)，點(diǎn)（a_n-1，a_n）恒在曲線C上
∴a_n-1a_n-4a_n-1+4=0（1分）
由得
當(dāng)n≥2時(shí)，
=
=
=（4分）
∴數(shù)列{b_n}是公差為的等差數(shù)列；（5分）
（2）∵a₁=4，∴
∴（7分）
由得（9分）
（3）∵a_nb_n²c_n=1
∴=（10分）
∴S_n=c₁+c₂++c_n=
=．（12分）
分析：本題以點(diǎn)（a_n-1，a_n）恒在曲線C：xy-4x+4=0上為情景，考查等差數(shù)列的證明、求數(shù)列的通項(xiàng)公式、求數(shù)列的前n項(xiàng)和等數(shù)列知識(shí)和研究方法；
（1）根據(jù)點(diǎn)（a_n-1，a_n）在曲線C上，將其代入方程可得：a_n-1a_n-4a_n-1+4=0，由相鄰兩項(xiàng)作差得到-，所以數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列
（2）由（1）知數(shù)列{b_n}是等差數(shù)列，首項(xiàng)和公差易得，所以數(shù)列{b_n}的通項(xiàng)公式可求，再根據(jù)兩個(gè)數(shù)列的關(guān)系，數(shù)列{a_n}的通項(xiàng)公式可直接獲得；
（3）根據(jù)數(shù)列{c_n}滿足a_nb_n²c_n=1，由（2）可得數(shù)列{c_n}的通項(xiàng)公式，前n項(xiàng)和可由“裂項(xiàng)法”求得，與2的大小比較易得．
點(diǎn)評(píng)：本題綜合性強(qiáng)，知識(shí)聯(lián)系廣泛，涉及了數(shù)列的證明、通項(xiàng)公式、求和公式等，但解題思路清晰、方向明確；
注意在數(shù)列{b_n}是否是等差數(shù)列的判斷時(shí)，運(yùn)用b_n-b_n-1容易進(jìn)行判斷，在（3）得到S_n=c₁+c₂++c_n==后，會(huì)變形為易得．