Question

設(shè)直線l與球O有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P．從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面截球O的兩個(gè)截面圓O₁和圓O₂的半徑分別為3和2，若這兩個(gè)半平面α，β所成的二面角為120°．則球O的半徑R=

 

．

Answer 1

分析：由已知中直線l與球O有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P．從直線l出發(fā)的兩個(gè)半平面截球O的兩個(gè)截面圓O₁和圓O₂的半徑分別為3和2，若這兩個(gè)半平面α，β所成的二面角為120°．過(guò)P，O₁和O₂作球的截面，則OO₁⊥O₁P，OO₂⊥O₂P，O₁PO₂=120°，O₁P=3，O₂P=2，OP=R，根據(jù)兩角和的余弦公式，可以構(gòu)造一個(gè)關(guān)于R有方程，解方程即可求出R的值．

解答：解：∵直線l與球O有且僅有一個(gè)公共點(diǎn)P，
則直線l與球O相切于點(diǎn)P，
過(guò)P，O₁和O₂作球的截面，如下圖所示

則O₁P=3，O₂P=2，OP=R
cos∠O₁PO=

3

R

，sin∠O₁PO=

R2-9

R

cos∠O₂PO=

2

R

，sin∠O₂PO=

R2-4

R

∵∠O₁PO₂=120°
∴cos∠O₁PO₂=cos∠O₁PO•cos∠O₂PO-sin∠O₁PO•sin∠O₂PO=

6- (R2-9)(R2-4)

R2

=-

1

2

解得R=

2 57

3

故答案為：

2 57

3

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)點(diǎn)是二面角的平面角，球的性質(zhì)，兩角和的三角函數(shù)，其中P，O₁和O₂作球的截面，將空間問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面問(wèn)題，是解答本題的關(guān)鍵．