Question

f（x）=（x+a）（x+b）是偶函數(shù)，且它的定義域?yàn)椋╝，a+4），則該函數(shù)的最小值是

-4

．

Answer 1

分析：將函數(shù)解析式展開，由函數(shù)是偶函數(shù)的性質(zhì)可以得出b的值，再利用偶函數(shù)的定義域?yàn)椋╝，a+4）求得a的值即可．

解答：解：∵f（x）=（x+a）（x+b）=x²+（a+b）x+ab是偶函數(shù)，
∴f（-x）=f（x），
∴a+b=0，
∴b=-a，
∴f（x）=x²-a²；
又∵偶函數(shù)的定義域?yàn)椋╝，a+4），
∴a+a+4=0，
∴a=-2．
∴f（x）=x²-4
∴該函數(shù)的最小值是-4．
故答案為：-4．

點(diǎn)評(píng)：本題考查函數(shù)奇偶性的性質(zhì)，求解本題的關(guān)鍵是根據(jù)函數(shù)的偶函數(shù)的性質(zhì)得出b的值，難點(diǎn)在于對(duì)定義域?yàn)椋╝，a+4）的理解與應(yīng)用（關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱），要注意這些條件的使用，屬于中檔題．