Question

已知橢圓的長軸兩端點(diǎn)分別為，是橢圓上的動點(diǎn)，以為一邊在軸下方作矩形，使，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)．

（Ⅰ）如圖（1），若，且為橢圓上頂點(diǎn)時，的面積為12，點(diǎn)到直線的距離為，求橢圓的方程；
（Ⅱ）如圖（2），若，試證明：成等比數(shù)列．

Answer 1

（Ⅰ）；（Ⅱ）詳見解析.

解析試題分析：（Ⅰ）由的面積為12，點(diǎn)到直線的距離為，列出關(guān)于的方程求解；（Ⅱ）用坐標(biāo)表示各點(diǎn)，然后求出的長，計(jì)算比較即可.
試題解析：（Ⅰ）如圖1，當(dāng)時，過點(diǎn)，，
∵的面積為12，，即．①               2分
此時，直線方程為．
∴點(diǎn)到的距離． ②    4分
由①②解得．            6分
∴所求橢圓方程為．      7分
（Ⅱ）如圖2，當(dāng)時，，設(shè)，
由三點(diǎn)共線，及，
（說明：也可通過求直線方程做）
得，
，即．  9分
由三點(diǎn)共線，及，
得，
，即．  11分
又，.            13分
而．  15分
，即有成等比數(shù)列．                      16分
考點(diǎn)：橢圓的標(biāo)準(zhǔn)方程、點(diǎn)到直線的距離、等比數(shù)列.