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        1. 11、若函數(shù)y=f(x)滿足:①對任意的a、b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)+2ab;②y=f(x)圖象的一條對稱軸方程是x=k;③y=f(x)在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增,則實數(shù)k的取值范圍是(  )
          分析:由對任意的a、b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)+2ab,可求得f(0)=0,構(gòu)造f(0)=f(x)+f(-x)-2x2=0可得f(x)+f(-x)=2x2,結(jié)合已知可知,f(x+k)=f(k-x),從而可得f(x)=x2-2kx,結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)可求k的取值范圍
          解答:解:對任意的a、b∈R恒有f(a+b)=f(a)+f(b)+2ab
          令a=b=0可得,f(0)=2f(0),即f(0)=0
          而f(0)=f(x)+f(-x)-2x2=0
          ∴f(x)+f(-x)=2x2
          ∵y=f(x)圖象的一條對稱軸方程是x=k
          ∴f(x+k)=f(k-x)
          從而可得,f(x)+f(k)+2kx=f(k)+f(-x)-2kx
          即f(x)-f(-x)=-4kx②
          ①②聯(lián)立可得,f(x)=x2-2kx;
          y=f(x)=x2-2kx;在區(qū)間[1,2]上單調(diào)遞增
          ∴k≤1
          故選:A
          點評:本題以抽象函數(shù)的性質(zhì)的考查為載體,主要考查了利用賦值法求解函數(shù)的函數(shù)值及函數(shù)的解析式,解決本題的關(guān)鍵有兩個(1)是先要根據(jù)條件f(a+b)=f(a)+f(b)+2ab,求出f(0)=0,進而構(gòu)造出f(x)+f(-x)=2x2的形式,(2)是根據(jù)已知對稱軸及條件①得到了f(x)-f(-x)=-4kx,從而求解出函數(shù)的解析式,本題是一道綜合性較好的試題,且性質(zhì)的應(yīng)用非常巧妙,是一道好題.
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          科目:高中數(shù)學(xué) 來源: 題型:

          若y=f(x)滿足下表:

          x

          (-∞,-1)

          -1

          (-1,0)

          0

          (0,1)

          1

          (1,+∞)

          y′

          -

          0

          +

          0

          -

          0

          +

          y

          極小

          極大

          極小

          寫出一個滿足上表的函數(shù)___________.

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